(6 pontos) Uma pessoa num carro sopra um apito, soando a 400 Hz . O carro está se movendo em linha reta em dire uma parede. A frequência do som medida por um receptor na parede é de 425 Hz . Para a velocidade do som no ar, con o valor de v_{\text {som }}=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A velocidade do carro em relação à parede é: b) 34,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; c) 20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; d) 21,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; a) 66,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s};

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dado: a pessoa em um carro soa um apito com frequência emitida f=400\\ \mathrm{Hz}.
  • Dado: o carro está se movendo em direção a uma parede; um receptor fixo na parede mede a frequência f'=425\\ \mathrm{Hz}.
  • Dado: velocidade do som no ar v_{\text{som}}=340\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedido: determinar a velocidade do carro em relação à parede. O enunciado apresenta opções; entre elas estão:
    • a) 66,0\\ \mathrm{m/s}
    • b) 34,0\\ \mathrm{m/s}
    • c) 20,0\\ \mathrm{m/s}
    • d) 21,3\\ \mathrm{m/s}

Passo 2

Explicação física e escolha da fórmula (aula curta e intuitiva).
Quando a fonte sonora se move em direção ao observador, as cristas das ondas são emitidas mais próximas entre si do que se a fonte estivesse parada — isso aumenta a frequência recebida. Para esse caso (observador estacionário, fonte se aproximando) a relação entre a frequência percebida f' e a frequência emitida f é dada por:
f' = f \,\frac{v}{v - v_s}
onde:
  • f' é a frequência medida pelo observador (a parede), em hertz;
  • f é a frequência emitida pela fonte (o apito), em hertz;
  • v é a velocidade do som no meio (ar), em \mathrm{m/s};
  • v_s é a velocidade da fonte em direção ao observador, em \mathrm{m/s}.
Breve derivação intuitiva (para você saber de onde veio a fórmula):
  • Período de emissão T = 1/f.
  • Se a fonte está em repouso, o comprimento de onda é \lambda = v/f.
  • Se a fonte se move rumo ao observador com velocidade v_s, a distância entre cristas consecutivas (comprimento de onda percebido) fica reduzida em v_s T, logo \lambda' = \lambda - v_s T = \frac{v}{f} - \frac{v_s}{f} = \frac{v - v_s}{f}.
  • A frequência percebida é f' = v/\lambda' = v / \bigl((v - v_s)/f\bigr) = f\,\dfrac{v}{v - v_s}.
    Isso justifica a fórmula usada.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso dado e isolar v_s.
Começando da fórmula:
f' = f \,\frac{v}{v - v_s}.
Substituindo os valores conhecidos \,f'=425\\ \mathrm{Hz},\\ f=400\\ \mathrm{Hz},\\ v=340\\ \mathrm{m/s}\,:
425 = 400 \cdot \frac{340}{340 - v_s}.
Divido ambos os lados por 400:
\frac{425}{400} = \frac{340}{340 - v_s}.

Passo 4

Resolver a equação para v_s com passos aritméticos claros.
Calculo a fração no lado esquerdo:
\frac{425}{400} = \frac{17}{16} = 1,0625.
Logo:
1,0625 = \frac{340}{340 - v_s}.
Inverto ambos os lados ou faço produto cruzado. Faço produto cruzado:
1,0625\,(340 - v_s) = 340.
Distribuo:
1,0625\cdot 340 - 1,0625\,v_s = 340.
Calculo 1,0625\cdot 340:
1,0625\cdot 340 = 340 + 0,0625\cdot 340 = 340 + 21{,}25 = 361{,}25.
Então:
361{,}25 - 1,0625\,v_s = 340.
Isolo o termo com v_s:
361{,}25 - 340 = 1,0625\,v_s.
Portanto:
21{,}25 = 1,0625\,v_s.
Finalmente:
v_s = \frac{21{,}25}{1,0625}.

Passo 5

Simplificação final (fazendo a divisão de forma exata onde possível).
Observando que 1,0625 = \dfrac{17}{16} e 21{,}25 = \dfrac{85}{4}, posso usar frações:
v_s = \frac{85/4}{17/16} = \frac{85}{4}\cdot\frac{16}{17} = \frac{85\cdot 4}{17} = 5\cdot 4 = 20.
Logo:
v_s = 20{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Checagem rápida de sentido: faz sentido fisicamente? Sim — a frequência aumentou de 400\\ \mathrm{Hz} para 425\\ \mathrm{Hz}, um aumento moderado, compatível com uma velocidade de 20{,}0\\ \mathrm{m/s} (cerca de 72\\ \mathrm{km/h}) em relação ao som.

Resposta

c) 20,0\\ \mathrm{m/s}

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