( 6 pontos) Um corpo de
de massa está preso a uma mola de constante de força igual a
. Ele está realizando um movimento harmônico amortecido forçado. A força senoidal que transfere energia ciclicamente para esse sistema massa-mola possui amplitude igual a
. A constante de amortecimento para esse sistema é de
. Com essas informações, podemos afirmar que a amplitude de movimento para esse sistema massamola quando a frequência angular de excitação vale
será de: b) 17 cm ; d)
; e)
. a)
; c)
;
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
- massa:
. - constante da mola:
. - amplitude da força forçante (senoidal):
. - constante de amortecimento:
. - frequência angular da excitação pedida:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a amplitude estacionária do movimento (amplitude do regime forçado) quando a excitação tem
. Em seguida escolher a opção correta entre as alternativas dadas.
Passo 2
Equação de movimento do sistema massa-mola amortecido forçado (escrita com os símbolos dados):
Explicando cada termo:
-
é a força inercial (massa vezes aceleração). -
é a força de amortecimento (proporcional à velocidade). -
é a força restauradora da mola. -
é a força externa aplicada, de amplitude e frequência angular .
Queremos a amplitude do regime estacionário (resposta em regime harmônico forçado), isto é, a amplitude constante
da solução particular que oscila com
.
Passo 3
Método para achar a amplitude: assumimos que, no regime estacionário, a resposta tem a mesma frequência da forçante e pode ser escrita como
onde
é a amplitude que queremos e
é a defasagem. Vamos substituir essa forma na equação e obter
. Esse procedimento é padrão: calcular
e
, substituir e igualar coeficientes de
e
.
Passo 4
Derivadas da solução assumida:
Substituindo em
e usando fórmulas de soma de ângulos (ou comparando componentes em
e
), chega-se à expressão bem conhecida para a amplitude estacionária:
Breve explicação da fórmula: o denominador é a magnitude da impedância dinâmica do sistema;
representa a diferença entre rigidez e efeito inercial àquela frequência, e
representa a parte imaginária ligada ao amortecimento.
Passo 5
Relembrando o que cada símbolo da fórmula representa:
-
é a amplitude da resposta no regime estacionário (unidade: metros). -
é a amplitude da força forçante (unidade: newtons). -
é a constante da mola (unidade: N/m). -
é a massa (unidade: kg). -
é a frequência angular da excitação (unidade: rad/s). -
é o coeficiente de amortecimento (unidade: kg/s).
Passo 6
Antes de calcular, vale notar o valor da frequência natural (apenas para insight):
Observação motivadora: a excitação
está bem próxima de
, então esperamos amplitude relativamente maior que em frequências bem distantes, mas o amortecimento reduz o pico.
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula numérica passo a passo.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Somar os quadrados e tirar a raiz:
Passo 8
Calcular a amplitude
:
Converter para centímetros:
Interpretação final rápida: a amplitude no regime estacionário para
é aproximadamente
, que corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)