( 6 pontos) Um corpo de 1,5 \mathrm{~kg} de massa está preso a uma mola de constante de força igual a 600 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Ele está realizando um movimento harmônico amortecido forçado. A força senoidal que transfere energia ciclicamente para esse sistema massa-mola possui amplitude igual a 0,50 \mathrm{~N}. A constante de amortecimento para esse sistema é de 0,144 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Com essas informações, podemos afirmar que a amplitude de movimento para esse sistema massamola quando a frequência angular de excitação vale 19 \mathrm{rad} / \mathrm{s} será de: b) 17 cm ; d) 1,7 \mathrm{~cm}; e) 9,8 \mathrm{~cm}. a) 0,85 \mathrm{~cm}; c) 1,4 \mathrm{~cm};

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • massa: m = 1,5\\ \mathrm{kg}.
  • constante da mola: k = 600\\ \mathrm{N/m}.
  • amplitude da força forçante (senoidal): F_0 = 0,50\\ \mathrm{N}.
  • constante de amortecimento: b = 0,144\\ \mathrm{kg/s}.
  • frequência angular da excitação pedida: \omega = 19\\ \mathrm{rad/s}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a amplitude estacionária do movimento (amplitude do regime forçado) quando a excitação tem \omega = 19\\ \mathrm{rad/s}. Em seguida escolher a opção correta entre as alternativas dadas.

Passo 2

Equação de movimento do sistema massa-mola amortecido forçado (escrita com os símbolos dados):
m\,\ddot{x} + b\,\dot{x} + k\,x = F_0 \cos(\omega t).
Explicando cada termo:
  • m\,\ddot{x} é a força inercial (massa vezes aceleração).
  • b\,\dot{x} é a força de amortecimento (proporcional à velocidade).
  • k\,x é a força restauradora da mola.
  • F_0\cos(\omega t) é a força externa aplicada, de amplitude F_0 e frequência angular \omega.
Queremos a amplitude do regime estacionário (resposta em regime harmônico forçado), isto é, a amplitude constante X da solução particular que oscila com \omega.

Passo 3

Método para achar a amplitude: assumimos que, no regime estacionário, a resposta tem a mesma frequência da forçante e pode ser escrita como
x_p(t) = X \cos(\omega t - \varphi),
onde X é a amplitude que queremos e \varphi é a defasagem. Vamos substituir essa forma na equação e obter X. Esse procedimento é padrão: calcular \dot{x}_p e \ddot{x}_p, substituir e igualar coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t).

Passo 4

Derivadas da solução assumida:
\dot{x}_p(t) = -X\omega \sin(\omega t - \varphi), \qquad \ddot{x}_p(t) = -X\omega^2 \cos(\omega t - \varphi).
Substituindo em m\ddot{x}+b\dot{x}+kx = F_0\cos(\omega t) e usando fórmulas de soma de ângulos (ou comparando componentes em \cos e \sin), chega-se à expressão bem conhecida para a amplitude estacionária:
X(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (b\,\omega)^2}}.
Breve explicação da fórmula: o denominador é a magnitude da impedância dinâmica do sistema; k - m\omega^2 representa a diferença entre rigidez e efeito inercial àquela frequência, e b\omega representa a parte imaginária ligada ao amortecimento.

Passo 5

Relembrando o que cada símbolo da fórmula representa:
  • X(\omega) é a amplitude da resposta no regime estacionário (unidade: metros).
  • F_0 é a amplitude da força forçante (unidade: newtons).
  • k é a constante da mola (unidade: N/m).
  • m é a massa (unidade: kg).
  • \omega é a frequência angular da excitação (unidade: rad/s).
  • b é o coeficiente de amortecimento (unidade: kg/s).

Passo 6

Antes de calcular, vale notar o valor da frequência natural (apenas para insight):
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{600}{1,5}}=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{rad/s}.
Observação motivadora: a excitação \omega=19\\ \mathrm{rad/s} está bem próxima de \omega_0, então esperamos amplitude relativamente maior que em frequências bem distantes, mas o amortecimento reduz o pico.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula numérica passo a passo.
Calcular m\omega^2:
m\omega^2 = 1,5 \cdot 19^2 = 1,5 \cdot 361 = 541,5.
Calcular k - m\omega^2:
k - m\omega^2 = 600 - 541,5 = 58,5.
Calcular (k - m\omega^2)^2:
(58,5)^2 = 3422,25.
Calcular b\,\omega:
b\,\omega = 0,144 \cdot 19 = 2,736.
Calcular (b\,\omega)^2:
(2,736)^2 = 7,485696.
Somar os quadrados e tirar a raiz:
\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (b\,\omega)^2} = \sqrt{3422,25 + 7,485696} = \sqrt{3429,735696} \approx 58,564\\ \text{(unidade: N/m ou equivalente)}.

Passo 8

Calcular a amplitude X:
X = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (b\,\omega)^2}} = \frac{0,50}{58,564}\\ \mathrm{m} \approx 0,00854\\ \mathrm{m}.
Converter para centímetros:
0,00854\\ \mathrm{m} = 0,854\\ \mathrm{cm}\approx 0,85\\ \mathrm{cm}.
Interpretação final rápida: a amplitude no regime estacionário para \omega=19\\ \mathrm{rad/s} é aproximadamente 0,85\\ \mathrm{cm}, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 0,85\\ \text{cm}

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