Q29. Um pequeno corpo de massa
escorrega pela face inclinada de um prisma triangular, de massa 2 m , sem atrito, e escorrega depois por uma superfície horizontal sem atrito. O corpo está, inicialmente, em repouso, à altura
em relação à superfície horizontal. Determinar a velocidade do prisma no instante em que o corpo perde contato com ele.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: um corpo de massa
escorrega sem atrito pela face inclinada de um prisma triangular de massa . Em seguida o corpo escorrega numa superfície horizontal sem atrito. - Dado: o corpo está inicialmente em repouso e a uma altura
(vertical) em relação à superfície horizontal. - Não foi dada explicitamente a inclinação da face; vou chamar de
o ângulo que a face faz com a horizontal (ou seja, a face inclinada tem direcção descendente formando com a horizontal). - Pedido: determinar a velocidade do prisma (magnitude da velocidade horizontal) no instante em que o corpo perde contato com ele (isto é, no instante em que o bloco alcança a extremidade inferior da face inclinada e passa para a superfície horizontal).
Informações relevantes que extraio do enunciado:
- Não há atrito em nenhuma interface.
- Não há forças externas horizontais (a superfície é horizontal sem atrito), portanto a quantidade de movimento horizontal do sistema bloco+prisma é conservada.
- Como não há forças dissipativas (atrito) e as únicas forças externas (além de reações internas) são gravitacionais, a energia mecânica total (energia potencial gravitacional + energias cinéticas do bloco e do prisma) também se conserva.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Escolho coordenadas e variáveis e explico as relações cinemáticas (isso é importante para escrever conservação de momento e energia).
- Seja
a massa do prisma; pelo enunciado . - Seja
a velocidade horizontal do prisma no instante em que o bloco perde contato (pegamos com sinal positivo para a direita). O prisma só pode mover-se horizontalmente. - Seja
a velocidade do bloco relativa ao prisma ao longo da face inclinada (isto é, velocidade escorregando ao longo da face medida no referencial do prisma), no instante imediatamente antes de perder contato. - A inclinação da face com a horizontal é
. A velocidade do bloco em relação ao chão (vetor) é soma da velocidade do prisma com a velocidade relativa ao longo da face: - componente horizontal do bloco no chão:
- componente vertical do bloco no chão (para baixo):
(Sinal escolhido para baixo como negativo em ; só interessa ao quadrado.)
Explicação rápida do porquê dessas fórmulas: a velocidade do bloco no referencial do chão é a soma vetorial da velocidade do prisma (puramente horizontal igual a
) com a velocidade do bloco relativa ao prisma, que tem direção ao longo da face (ângulo
com a horizontal).
Passo 3
Escrevo a conservação do momento linear horizontal (porque não há forças externas horizontais).
Conservação do momento horizontal:
Substituindo
:
Agrupando termos em
,
Daí obtemos a relação entre
e
:
(O sinal negativo indica que, se o bloco desliza para a direita ao longo da face, o prisma se move para a esquerda; como pedem velocidade, depois tomaremos magnitude.)
Passo 4
Escrevo a conservação da energia mecânica do sistema bloco+prisma (não há atrito, logo energia mecânica total se conserva).
Energia inicial: potencial gravitacional do bloco
(o prisma está inicialmente com velocidade zero e não tem variação de energia potencial vertical relevante). Energia final (no instante de perda de contato): soma das energias cinéticas do bloco e do prisma:
onde
é a velocidade do bloco no referencial do chão, com
Passo 5
Expando
para simplificar a energia:
Substituo em energia:
Agrupo termos em
,
e
:
Passo 6
Agora uso a relação entre
e
obtida pela conservação do momento (Passo 3) para eliminar
. Da equação do Passo 3:
Calculo
e
:
Substituo esses termos na equação de energia:
Passo 7
Simplifico a expressão passo a passo.
O primeiro termo simplifica-se para
O segundo termo é
Somando o primeiro e o segundo:
Portanto a energia fica
Coloco
em evidência:
Simplifico o parêntese:
Logo
Passo 8
Cancelo
e resolvo para
:
Passo 9
Agora volto à expressão de
em função de
:
Tomando a magnitude (velocidade do prisma) e substituindo
, obtemos
Simplificando um fator
,
Passo 10
Agora uso o valor numérico do prisma
(dado do enunciado). Substituo
na expressão de
:
-
. -
.
Substituindo:
Portanto a magnitude da velocidade do prisma é
Comentário intuitivo final: a velocidade do prisma depende do ângulo
da face inclinada; para planos muito rasos (
) obtemos
, enquanto para
(queda vertical) o prisma praticamente não se move (
), o que faz sentido fisicamente.