2^ a Questão: Determine por definição a derivada da função g(x) abaixo. Calcule também a equação da tangente ao gráfico no ponto P .
(1,0 ponto)
a) g(x)=2x^2
P(1, g(1))

Passo 1

O enunciado dá g(x)=tfrac2x^2 e pede duas coisas: (i) a derivada g'(x) obtida pela definição de derivada como limite do quociente de diferença; (ii) a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto P=(1,g(1)). Para isso, vamos usar a definição
g'(x)=limhto0g(x+h)-g(x)h,
e depois aplicar o resultado em x=1.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, temos
g'(x)=limhto02(x+h)^2-2x^2h
Para simplificar, combinamos as frações no numerador:
2(x+h)^2-2x^2 =2x^2-2(x+h)^2x^2(x+h)^2 =2l[x^2-(x+h)^2r]x^2(x+h)^2 =2(-2xh-h^2)x^2(x+h)^2 =-2(2x+h)x^2(x+h)^2
Logo o quociente de diferença fica
-2(2x+h)x^2(x+h)^2h =-2(2x+h)h,x^2(x+h)^2

Passo 3

Agora tomamos o limite hto0:
g'(x) =limhto0l(-2(2x+h)h,x^2(x+h)^2r) =-2cdot2xx^2cdot x^2 =-4xx^4 =-4x^3
Portanto
g'(x)=-4x^3

Passo 4

Para a reta tangente em P=(1,g(1)) basta calcular
g(1)=21^2=2, g'(1)=-41^3=-4,
e usar a fórmula
y-g(1)=g'(1),(x-1) ;Longrightarrow; y-2=-4(x-1) ;Longrightarrow; y=-4x+6

Resposta

g'(x)=-dfrac4x^3
reta tangente em P: ;y=-4x+6

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