Determine
de modo que
seja solução de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a função
de modo que
seja solução da equação diferencial
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivação de funções compostas e equações diferenciais.
O que vamos precisar: Saber como calcular derivadas de funções compostas e entender como manipular equações diferenciais de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
.
Dada
, aplicamos a regra do produto para derivar:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Em seguida, precisamos derivar essa expressão novamente para obter
:
Calculando cada derivada separadamente:
Somando todas as partes:
Passo 4
De acordo com a equação diferencial dada:
Substituindo
e
:
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Integrando
:
Fazemos a substituição
, então
:
Integrando
:
Usando novamente
,
:
Somando todas as integrais e simplificando:
Resposta
A função
que satisfaz a equação diferencial dada é:
Onde
é a constante de integração.