Determine f(x) de modo que y = 2 x sen(x^2) seja solução de [y' + f(x)]' = y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a função de modo que seja solução da equação diferencial .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivação de funções compostas e equações diferenciais.
O que vamos precisar: Saber como calcular derivadas de funções compostas e entender como manipular equações diferenciais de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a .
Dada , aplicamos a regra do produto para derivar:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Em seguida, precisamos derivar essa expressão novamente para obter :
Calculando cada derivada separadamente:
Somando todas as partes:

Passo 4

De acordo com a equação diferencial dada:
Substituindo e :
Agora, vamos isolar :

Passo 5

Para encontrar , precisamos integrar :
Vamos integrar cada termo separadamente.
Integrando :
Fazemos a substituição , então :
Integrando :
Usando novamente , :
Somando todas as integrais e simplificando:

Resposta

A função que satisfaz a equação diferencial dada é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados