Resolver as seguintes integrais
integral cos ^5(b x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral cos^5(b x),dx
O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas e substituição para reduzir a potência de cosseno. Precisamos lembrar que podemos escrever cos^5(b x)=cos^4(b x)cos(b x) e em seguida usar cos^2(b x)=1-sin^2(b x).

Passo 2

Escrevemos
cos^5(b x)=l(cos^2(b x)r)^2cos(b x) =l(1-sin^2(b x)r)^2cos(b x)
Isso já transforma a integral num polinômio em sin(bx) multiplicado por cos(bx).

Passo 3

Fazemos a substituição
u=sin(b x), du=bcos(b x),dx ;Longrightarrow; cos(b x),dx=dub
Assim a integral passa a ser
integral cos^5(b x),dx =integral l(1-u^2r)^2dub =1bintegrall(1-2u^2+u^4r),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
1bintegrall(1-2u^2+u^4r),du =1bl(u-2u^33+u^55r)+C

Passo 5

Voltamos à variável x usando u=sin(bx):
integral cos^5(b x),dx =1bl(sin(bx)-23sin^3(bx)+15sin^5(bx)r)+C

Resposta

boxedintegral cos^5(b x),dx =1bl(sin(bx)-tfrac23sin^3(bx)+tfrac15sin^5(bx)r)+C

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