Resolver as seguintes integrais
integral sen^5(a x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função sin^5(ax) em relação a x. O conteúdo principal aqui são as identidades trigonométricas de potência e a técnica de substituição simples (u-substituição).

Passo 2

Usamos a identidade sin^2theta = 1 - cos^2theta para escrever
sin^5(ax) = l(sin^2(ax)r)^2 sin(ax) = l(1 - cos^2(ax)r)^2 ,sin(ax)

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cos(ax), du = -a,sin(ax),dx Longrightarrow sin(ax),dx = -1a,du
Assim a integral vira
integral sin^5(ax),dx = integral l(1 - u^2r)^2l(sin(ax),dxr) = -1aintegral l(1 - u^2r)^2 du

Passo 4

Expandimos o polinômio e integramos em u:
l(1 - u^2r)^2 = 1 - 2u^2 + u^4,
então
-1aintegral l(1 - 2u^2 + u^4r) du = -1al(u - 2u^33 + u^55r) + C

Passo 5

Voltando a variável x ( u = cos(ax) ), obtemos
-1acos(ax) + 23acos^3(ax) - 15acos^5(ax) + C

Resposta

boxed integral sin^5(ax),dx = -cos(ax)a + 2,cos^3(ax)3a - cos^5(ax)5a + C

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