(M) Considere um solenoide toroidal de raio médio , com seção transversal de área e voltas de fio enroladas de forma compacta ao longo de seu comprimento.
(a) Utilizando a lei de Ampère, determine a intensidade do campo magnético a uma distância da origem (eixo do toroide). Assuma que as linhas de campo no interior do solenoide são circulares (e de fato são, mesmo nessa situação arbitrária).
(b) Suponha que o solenoide é fino, de forma que as dimensões de sua seção transversal sejam pequenas em comparação com . Assim, podemos dizer que o campo magnético é aproximadamente uniforme sobre a seção tranversal e coincide com o valor calculado para . Nessas condições, determine a auto-indutância do sistema.
Passo 1
O enunciado trata de um solenoide toroidal de raio médio , seção transversal de área e voltas de fio enroladas compactamente.
Conteúdo: Parte (a): aplicar a lei de Ampère para determinar o módulo do campo magnético em função da distância ao eixo do toroide. Parte (b): usando o resultado de (a) e a definição de auto-indutância , calcular no caso de toroide “fino” (campo aproximadamente uniforme sobre e avaliado em ).
Passo 2
Escolhemos uma curva amperiana circular de raio , centrada no eixo do toroide, de comprimento . Pela lei de Ampère:
onde é a corrente total atravessada pela superfície limitada pela curva.
Passo 3
Identificamos três regiões: . Para fora da seção do toroide ( ou ), não há corrente líquida atravessando a amperiana, logo e
. Para dentro do toroide (na região onde estão as espiras), todas as voltas atravessam a abertura da amperiana, então . Como é tangencial e constante em módulo ao longo da curva,
Passo 4
Portanto, resumindo o resultado da parte (a):
com Rint e Rext os raios interno e externo da seção transversal do toroide.]
Passo 5
Na parte (b) assumimos o toroide fino, de modo que a seção é muito estreita e podemos aproximar Rintapprox Rextapprox R. O campo vale então aproximadamente