(M) Considere um solenoide toroidal de raio médio R, com seção transversal de área A e N voltas de fio enroladas de forma compacta ao longo de seu comprimento.
(a) Utilizando a lei de Ampère, determine a intensidade do campo magnético a uma distância r da origem (eixo do toroide). Assuma que as linhas de campo no interior do solenoide são circulares (e de fato são, mesmo nessa situação arbitrária).
(b) Suponha que o solenoide é fino, de forma que as dimensões de sua seção transversal sejam pequenas em comparação com R. Assim, podemos dizer que o campo magnético é aproximadamente uniforme sobre a seção tranversal e coincide com o valor calculado para r=R. Nessas condições, determine a auto-indutância do sistema.

Passo 1

O enunciado trata de um solenoide toroidal de raio médio R, seção transversal de área A e N voltas de fio enroladas compactamente.
Conteúdo:
bul<=t Parte (a): aplicar a lei de Ampère para determinar o módulo do campo magnético B(r) em função da distância r ao eixo do toroide.
bul<=t Parte (b): usando o resultado de (a) e a definição de auto-indutância L = N,Phi/I, calcular L no caso de toroide “fino” (campo aproximadamente uniforme sobre A e avaliado em r=R).

Passo 2

Escolhemos uma curva amperiana circular de raio r, centrada no eixo do toroide, de comprimento 2pi r. Pela lei de Ampère:
oint Bcdot dell ;=;mu0,Ienc,,
onde Ienc é a corrente total atravessada pela superfície limitada pela curva.

Passo 3

Identificamos três regiões:
1. Para r fora da seção do toroide ( r<Rint ou r>Rext), não há corrente líquida atravessando a amperiana, logo Ienc=0 e
B(r)=0
2. Para r dentro do toroide (na região onde estão as espiras), todas as N voltas atravessam a abertura da amperiana, então Ienc=N,I. Como B é tangencial e constante em módulo ao longo da curva,
B(r),(2pi r) ;=;mu0,N,I Longrightarrow B(r)=mu0,N,I2pi,r

Passo 4

Portanto, resumindo o resultado da parte (a):
B(r)= 0, & r< Rint,,[6pt] dfracmu0,N,I2pi,r, & Rint < r < Rext,,[6pt] 0, & r > Rext,,
com Rint e Rext os raios interno e externo da seção transversal do toroide.]

Passo 5

Na parte (b) assumimos o toroide fino, de modo que a seção é muito estreita e podemos aproximar Rintapprox Rextapprox R. O campo vale então aproximadamente
B(R)=mu0,N,I2pi,R
em toda a área A. O fluxo por espira é
Phipor espira = integralA B,dA approx B(R),A = mu0,N,I2pi,R;A
A ligação total de fluxo nas N espiras é N vezes isso, de onde a auto-indutância
L = N,Phipor espiraI = NI,mu0,N,I,A2pi,R = mu0,N^2,A2pi,R

Resposta

(a) B(r)= 0, & r<Rint,, dfracmu0N I2pi r, & Rint<r<Rext,, 0, & r>Rext,
(b) L = mu0,N^2,A2pi,R

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