(M) Uma linha isolante de cargas tem a forma de um semicírculo de raio
, como indicado na figura abaixo. Sua densidade linear de carga é dada por
, onde
é uma constante positiva e
é o ângulo polar medido a partir do eixo
.
Determine o vetor campo elétrico no centro do semicírculo.
Determine o vetor campo elétrico no centro do semicírculo.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um fio curvado em semicírculo de raio
que carrega carga de forma não uniforme: a densidade linear é
com
Conteúdo: campo elétrico de uma distribuição contínua de carga usando Lei de Coulomb e integração. Vamos precisar dividir o fio em pequenos pedaços, usar
Passo 2
Primeiro a gente escreve o pedacinho de carga
em função de
. Como o semicírculo tem raio
e a densidade é
, um ângulo infinitesimal
corresponde a um comprimento
. Então:
Passo 3
Agora usamos a Lei de Coulomb para achar o campo que esse
produz no centro. A fórmula geral é
mas aqui
Como a direção radial para o centro é
Passo 4
Vamos separar as componentes
e
e integrar de
a
.
Para
:
A integral
pois
Para
:
E a gente usa
Resposta
O campo elétrico no centro do semicírculo é
Ou seja, aponta para baixo com magnitude $\lambda_0/(8\varepsilon_0R),. $