(M) Uma linha isolante de cargas tem a forma de um semicírculo de raio R, como indicado na figura abaixo. Sua densidade linear de carga é dada por lambda(theta)=lambda0 sin theta, onde lambda0 é uma constante positiva e theta é o ângulo polar medido a partir do eixo X.
Determine o vetor campo elétrico no centro do semicírculo.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um fio curvado em semicírculo de raio R que carrega carga de forma não uniforme: a densidade linear é
lambda(theta)=lambda0sintheta
com theta variando de 0 a pi. Queremos achar o campo elétrico E bem no centro desse semicírculo.
Conteúdo: campo elétrico de uma distribuição contínua de carga usando Lei de Coulomb e integração. Vamos precisar dividir o fio em pequenos pedaços, usar dQ=lambda(theta),R,dtheta, montar dE e integrar.

Passo 2

Primeiro a gente escreve o pedacinho de carga dQ em função de theta. Como o semicírculo tem raio R e a densidade é lambda(theta), um ângulo infinitesimal dtheta corresponde a um comprimento R,dtheta. Então:
dQ=lambda(theta),R,dtheta = lambda0sintheta,R,dtheta

Passo 3

Agora usamos a Lei de Coulomb para achar o campo que esse dQ produz no centro. A fórmula geral é
dE = 14pivarepsilon0,dQr^2,r,
mas aqui r=R (distância do pedacinho de carga até o centro) e r aponta do pedacinho para o centro.
Como a direção radial para o centro é -r = -(costheta,i + sintheta,j), temos
dE = 14pivarepsilon0lambda0sintheta,R,dthetaR^2[-(costheta,i + sintheta,j)]
= -lambda04pivarepsilon0,Rsintheta;(costheta,i + sintheta,j),dtheta

Passo 4

Vamos separar as componentes x e y e integrar de theta=0 a pi.
Para Ex:
Ex = -lambda04pivarepsilon0,Rintegral0^pisinthetacostheta,dtheta
A integral integral0^pisinthetacostheta,dtheta = 12integral0^pisin(2theta),dtheta = 0,
pois sin(2theta) faz uma oscilação completa de 0 a 2pi. Logo Ex=0.
Para Ey:
Ey = -lambda04pivarepsilon0,Rintegral0^pisin^2theta,dtheta
E a gente usa integral0^pisin^2theta,dtheta = pi2. Então
Ey = -lambda04pivarepsilon0,R,pi2 = -lambda08,varepsilon0,R

Resposta

O campo elétrico no centro do semicírculo é
boxedE = -lambda08,varepsilon0,R,j
Ou seja, aponta para baixo com magnitude $\lambda_0/(8\varepsilon_0R),. $

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