(M) Em um modelo clássico para o átomo de Hidrogênio, um elétron de carga - e massa m descreve um movimento circular uniforme de raio a0 em torno de um próton de carga +e, fixo na origem. Considerando a força de atração gravitacional entre o próton e o elétron desprezível em confronto com a força elétrica, determine:
(a) A aceleração do elétron (módulo, direção e sentido).
(b) A velocidade escalar do elétron.
© O período de revolução.
(d) Por que podemos desprezar a força gravitacional nessa situação?

Passo 1

Beleza, aqui vai o resumo do que temos e do que vamos precisar.
Enunciado: num modelo clássico do átomo de H, o elétron (carga – e, massa m) faz movimento circular uniforme (MCU) de raio em torno de um próton fixo (carga + e). A força de atração gravitacional é desprezada. Precisamos achar:
(a) aceleração do elétron (módulo, direção e sentido);
(b) velocidade escalar;
© período de revolução;
(d) por que podemos desprezar a gravidade.
Conteúdo e ferramentas:
  • Lei de Coulomb: , com .
  • Movimento Circular Uniforme: aceleração centrípeta .
  • Segunda lei de Newton: .

Passo 2

(a) Aceleração do elétron
No MCU, a força elétrica fornece a aceleração centrípeta:
Fe = m,a Longrightarrow k,e^2a0^2 = m,a
Então o módulo da aceleração é
a = k,e^2m,a0^2
Direção: ao longo da linha que liga o elétron ao próton.
Sentido: sempre voltado para o centro da órbita (radial para dentro).

Passo 3

(b) Velocidade escalar do elétron
Também em MCU vale
m,v^2a0 = Fe = k,e^2a0^2 Longrightarrow v^2 = k,e^2m,a0
Logo
v = raizk,e^2m,a0

Passo 4

© Período de revolução
O período T = perímetrovelocidade = 2pi a0v = 2pi a0 ;raizm,a0k,e^2 é o tempo para dar uma volta completa de comprimento , então
í

Passo 5

(d) Desprezando a força gravitacional
A força de gravitação entre próton e elétron é
Fg = G,m,mpa0^2,
enquanto a força elétrica é
Fe = k,e^2a0^2
A razão

vale cerca de . Ou seja, a atração elétrica é 10^39 vezes maior que a gravitacional — por isso dá pra desprezar .

Resposta

(a) , radial para dentro.
(b) .
© .
(d) Porque a força elétrica é ~10^39 vezes maior que a gravitacional, logo é desprezível.

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