(M) Uma esfera condutora de raio a possui inicialmente uma carga total Q e encontra-se muito afastada de uma segunda esfera condutora neutra de raio b. A seguir, conecta-se as duas esferas por meio de um fio condutor fino, mantendo a separação entre elas. Após reestabelecido o equilíbrio eletrostático e desprezando qualquer acúmulo de carga no fio, determine:
(a) A razão entre as intensidades do campo elétrico na superfície de cada esfera.
(b) As cargas adquiridas por cada esfera.
Dica: Lembre que, quando um condutor se encontra em equilíbrio eletrostático, o potencial deve ter o mesmo valor em todos os pontos de sua parte maciça.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos duas esferas condutoras, uma com raio que começa com carga e outra neutra de raio . Elas estão bem afastadas uma da outra, aí a gente liga um fio condutor entre elas e espera chegar no equilíbrio eletrostático. Aí o que pedem é:
a) Qual a razão entre as intensidades dos campos elétricos na superfície de cada esfera?
b) Quais cargas cada esfera fica com no final?
Conteúdo envolvido: condutores em equilíbrio (potencial constante), potencial de uma esfera carregada , conservação de carga e relação entre campo e carga na superfície .

Passo 2

Quando o fio conecta as esferas, carga pode fluir até que os potenciais delas fiquem iguais. Ou seja,
V1 = V2 Longrightarrow Q14pivarepsilon0,a ;=;Q24pivarepsilon0,b ;;Longrightarrow;; Q1a = Q2b ;;Longrightarrow;; Q2 = Q1,ba

Passo 3

Além disso, como não sobra nem sai carga do conjunto, a soma das cargas nas duas esferas continua Q1 + Q2 = Q :
Q1 + Q1,ba = Q Longrightarrow Q1l(1 + bar) = Q Longrightarrow Q1 = Q,aa+b
Substituindo na soma:

Passo 4

Agora é só achar Q2 = Q1,ba = l(Q,aa+br)ba = Q,ba+b :

Passo 5

Os campos nas superfícies valem
E1 = Q14pivarepsilon0,a^2, E2 = Q24pivarepsilon0,b^2
A razão é
E1E2 = tfracQ1a^2tfracQ2b^2 = Q1,b^2Q2,a^2 ;a=; Q1,b^2Q1ba,a^2 = b^2b,a = ba

Resposta

(a)
(b)

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