Quando
, o modelo representa uma função decrescente.
Passo 1
O enunciado afirma: “Quando
, o modelo representa uma função decrescente.”\n
Informações dadas (ou que normalmente estão implícitas nesse tipo de enunciado): \n
Informações dadas (ou que normalmente estão implícitas nesse tipo de enunciado): \n
- Há um parâmetro
, que é o coeficiente angular (o “declive”) do modelo linear. \n - O modelo implícito é a função afim
(ou uma reta qualquer com coeficiente angular ).\n
O que precisamos responder: verificar e explicar, passo a passo e de maneira didática, por que a condiçãoimplica que a função é decrescente.
Passo 2
Vamos começar definindo claramente o que significa “função decrescente”.\n
Definição (em linguagem matemática simples): uma função
é decrescente se, para quaisquer
e
tais que
, vale\n
Em palavras: quando aumento a entrada
, o valor da função diminui.
Passo 3
Agora explico o que é
na função
.\n
- A constante
é o coeficiente angular (a inclinação) da reta: ela diz o quanto muda quando aumenta em 1 unidade. \n - A constante
é o termo independente (intercepto), que só desloca a reta para cima ou para baixo sem mudar sua inclinação.
Passo 4
Prova algébrica simples e sem cálculo (essa é a que você pode usar na prova sem derivadas).\n
Escolha quaisquer e
com
. Calcule a diferença entre os valores da função:\n
Escolha quaisquer
Simplificando, os
se cancelam e obtemos\n
Agora observe dois pontos importantes:\n
- Como
(porque ), o sinal do produto é o mesmo do sinal de .\n - Se
, então . Logo , ou seja .\n
Isso satisfaz exatamente a definição de função decrescente. Portanto, se, a reta é estritamente decrescente.
Passo 5
Versão com derivada (curta, só para intuição se você já viu cálculo):\n
A derivada de é
. Se
para todo
(aqui
), então
é estritamente decrescente. Essa é a mesma conclusão, só com outra linguagem.
A derivada de
Passo 6
Exemplo numérico para fixar (faça assim na prova para checar rapidamente):\n
Tome
e
. Então\n
\n
Ao aumentar
de
para
para
, os valores
vão diminuindo — claramente decrescente.
Passo 7
Intuição geométrica rápida (para lembrar na hora da prova):\n
Uma reta com “desce” quando vamos da esquerda para a direita. Visualmente ela vai para baixo à medida que
aumenta, então os valores de
diminuem.
Uma reta com
Passo 8
Cuidado/observação final (para não errar em enunciados parecidos):\n
- A conclusão "
implica função decrescente" vale para funções lineares/retas ou quando representa a derivada constante. \n - Se o modelo não for uma reta e
for apenas um coeficiente em um modelo mais complexo, é preciso verificar o significado de nesse contexto (por exemplo, coeficiente local vs. comportamento global). Mas para o enunciado típico em que é a inclinação da reta, a afirmação é correta.
Resposta
Verdadeiro: quando
a função linear
é estritamente decrescente.