Se
e
definimos
onde
se
e
. Prove (por indução sobre
) a seguinte fórmula onde
são inteiros:
Passo 1
O enunciado define o coeficiente binomial para
com
como
e pede para provar, por indução em
, que para inteiros
vale
O conteúdo a usar é a definição fatorial de
e o princípio de indução.
Passo 2
Base da indução:
. Então o lado esquerdo é
pois
e
. O lado direito é
Logo a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum
, já tenhamos
Queremos mostrar que
Passo 4
Usamos diretamente a definição fatorial para o lado esquerdo em
:
Somando:
Colocando sob um mesmo denominador
:
Reconhecemos que
como queríamos.
Resposta
Portanto, por indução em
, mostramos que para todo
vale