Seja a \neq 0 \in \mathbb{Z} e m \in \mathbb{N}. Definimos potencia não negativa de a do seguinte modo:
a^{0}=1, a^{1}=a, a^{m}=\underbrace{a \cdot a \ldots a}_{m \text { vezes }} \text { se } m \geq 2
Prove que:
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n} \quad \forall m, n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade dos expoentes
\bigl(a^{m}\bigr)^{n} = a^{m\cdot n},
onde a\neq0 é inteiro e m,n\in\mathbb{N}.
O método mais direto é usar indução em n, aplicando as definições
a^0=1,\quad a^1=a,\quad a^k = \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{k\text{ vezes}}\\ (k\ge2).

Passo 2

(Base da indução: n=0)
Pela definição,
\bigl(a^{m}\bigr)^{0} = 1
e, por outro lado,
a^{m\cdot0} = a^0 = 1.
Logo a igualdade vale para n=0.

Passo 3

(Passo indutivo)
Suponha que para algum n\ge0 já valha
\bigl(a^{m}\bigr)^{n} = a^{m\cdot n}.
Então para n+1 temos
\bigl(a^{m}\bigr)^{n+1} = \bigl(a^{m}\bigr)^{n}\,\cdot\,a^{m} \quad\text{(definição de potência com expoente \(\ge1\))}.çãê
Pela hipótese indutiva isso é
a^{m\cdot n}\,\cdot\,a^{m} = a^{m\cdot n + m} = a^{m\,(n+1)}.
Assim a propriedade mantém-se de n para n+1.

Passo 4

Concluímos por indução que para todo n\in\mathbb{N} vale
\bigl(a^{m}\bigr)^{n} = a^{m\cdot n}.

Resposta

\displaystyle \bigl(a^{m}\bigr)^{n} = a^{m\cdot n} para todos m,n\in\mathbb{N}.

Exercícios relacionados