Questão 2 (9 pts) Seja \mathcal{W}=\{(x, y, z) \mid(x, y, z) \bullet(1,1,1)=0\} um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
a) Determine um conjunto de geradores para \mathcal{W}.
b) Determine uma base para \mathcal{W}.
c) Qual a dimensão de \mathcal{W} ?
Passo 1
O enunciado define o subespaço \mathcal{W}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid(x,y,z)\cdot(1,1,1)=0\}.
O conteúdo aqui é o núcleo de uma forma linear em \mathbb{R}^3. Para solucionar, vamos usar parametrização para achar um conjunto de geradores, verificar independência para formar uma base e, por fim, determinar a dimensão.
Passo 2
A condição
(x,y,z)\cdot(1,1,1)=0
é equivalente a
x+y+z=0.
Isolando z obtemos
z=-x-y,
logo qualquer vetor de \mathcal{W} pode ser escrito como