Questão 2 (9 pts) Seja \mathcal{W}=\{(x, y, z) \mid(x, y, z) \bullet(1,1,1)=0\} um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
a) Determine um conjunto de geradores para \mathcal{W}.
b) Determine uma base para \mathcal{W}.
c) Qual a dimensão de \mathcal{W} ?

Passo 1

O enunciado define o subespaço \mathcal{W}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid(x,y,z)\cdot(1,1,1)=0\}.
O conteúdo aqui é o núcleo de uma forma linear em \mathbb{R}^3. Para solucionar, vamos usar parametrização para achar um conjunto de geradores, verificar independência para formar uma base e, por fim, determinar a dimensão.

Passo 2

A condição
(x,y,z)\cdot(1,1,1)=0
é equivalente a
x+y+z=0.
Isolando z obtemos
z=-x-y,
logo qualquer vetor de \mathcal{W} pode ser escrito como
(x,y,z)=(x,y,-x-y)=x\,(1,0,-1)+y\,(0,1,-1).
Portanto \{(1,0,-1),(0,1,-1)\} gera \mathcal{W}.

Passo 3

Para checar independência linear, suponha
a\,(1,0,-1)+b\,(0,1,-1)=(0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a=0,\\\ b=0,\\\\ -\,a - b=0, \end{cases}
cuja única solução é a=b=0. Logo esses vetores são linearmente independentes e formam uma base de \mathcal{W}.

Passo 4

Como a base de \mathcal{W} tem dois vetores, concluímos que
\dim(\mathcal{W})=2.
Isso também bate com o Teorema da Dimensão: \dim(\ker\varphi)=3-1=2.

Resposta

(a) Um conjunto de geradores é \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.
(b) Uma base para \mathcal{W} é \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.
(c) \dim(\mathcal{W})=2.

Exercícios relacionados