(M) Uma partícula de massa
e carga
penetra com velocidade inicial
em uma região de campo magnético uniforme
.
(b) Mostre que o movimento da partícula nessa região é helicoidal e identifique o eixo da hélice.
(b) Mostre que o movimento da partícula nessa região é helicoidal e identifique o eixo da hélice.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala de uma partícula com massa $ m $ e carga $ -q $ (onde $ q > 0 $) que entra em uma região com um campo magnético uniforme $ \overrightarrow{B} = B \hat{\boldsymbol{y}} $ (sendo $ B > 0 $). A velocidade inicial da partícula é $ \overrightarrow{v} = v_{x} \hat{\boldsymbol{x}} + v_{y} \hat{\boldsymbol{y}} $ (com $ v_{x}, v_{y} > 0 $).
O conteúdo que vamos usar aqui é o Movimento de Partículas Carregadas em Campos Magnéticos e a Força de Lorentz. Precisaremos entender como a força magnética atua sobre a partícula e como isso influencia o trajeto dela, mostrando que o movimento é helicoidal e determinando o eixo dessa hélice.
Passo 2
Primeiro, lembrando a Força de Lorentz, que descreve a força que atua sobre uma carga em movimento dentro de um campo magnético. A fórmula é:
No nosso caso, a carga é $ -q $, então a força fica:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial $ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} $. Substituindo os vetores:
O produto vetorial resulta em:
Sabemos que $ \hat{\boldsymbol{y}} \times \hat{\boldsymbol{y}} = \overrightarrow{0} $, então sobra:
E $ \hat{\boldsymbol{x}} \times \hat{\boldsymbol{y}} = \hat{\boldsymbol{z}} $, então:
Passo 4
Agora, aplicando a força de Lorentz:
Isso significa que a força magnética está na direção $ -\hat{\boldsymbol{z}} $, perpendicular ao plano $ xy $.
Passo 5
Essa força perpendicular causa um movimento circular na direção $ z $. Entretanto, como a partícula também tem uma velocidade $ v_{y} $ na direção $ y $, ela continua se movendo nessa direção sem ser afetada pelo campo magnético.
Portanto, o movimento total da partícula combina esse movimento circular com o movimento retilíneo na direção $ y $, resultando em uma trajetória helicoidal.
Passo 6
Para identificar o eixo da hélice, observamos que a componente da velocidade na direção $ y $ ($ v_{y} $) não é alterada pelo campo magnético, pois o campo está na direção $ y $. Assim, o movimento circular ocorre nas direções $ x $ e $ z $, enquanto a partícula se move retilinamente na direção $ y $.
Portanto, o eixo da hélice é a direção do campo magnético, ou seja, o eixo $ y $.
Resposta
O movimento da partícula é helicoidal, com o eixo da hélice alinhado na direção do campo magnético $ \hat{\boldsymbol{y}} $.