Uma partícula está confinada numa região unidimensional por duas barreiras de potencial localizadas em x=0 e x=L. Em comparação com a energia da partícula as barreiras de potencial são tão grandes que podem ser tomadas como infinitas. Considere também que a partícula encontra-se num estado cuja função de onda normalizada é
psi(x)= raiz2L sin (pi xL) & para 0 <= x <= L 0 & para x <= 0 e x >= L
a) Escreva a função distribuição de probabilidade, P(x), para a partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula confinada em uma região unidimensional com barreiras de potencial infinitas nas posições x=0 e x=L. O conteúdo envolve mecânica quântica, especificamente o conceito de função de onda e distribuição de probabilidade. Para resolver, precisamos entender como relacionar a função de onda psi(x) com a distribuição de probabilidade P(x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda psi(x) descreve o estado quântico da partícula. Para encontrar a distribuição de probabilidade P(x), que nos diz a chance de encontrar a partícula em uma posição específica, usamos a relação:
P(x) = |psi(x)|^2
Isso significa que a probabilidade é o módulo ao quadrado da função de onda.

Passo 3

Vamos aplicar isso à função de onda dada no exercício:
psi(x)= raiz2L sin (pi xL) & para 0 <= x <= L 0 & para x <= 0 e x >= L
Como a função é zero fora do intervalo 0 <= x <= L, a probabilidade também será zero nessas regiões.

Passo 4

Agora, calculamos P(x) dentro do intervalo onde psi(x) é não nula:
P(x) = |raiz2L sin (pi xL)|^2
Como o valor dentro do módulo já é real, podemos simplesmente elevar ao quadrado:
P(x) = (raiz2L)^2 [sin (pi xL)]^2

Passo 5

Simplificando os termos:
(raiz2L)^2 = 2L
Então,
P(x) = 2L sin^2 (pi xL)

Resposta

A função distribuição de probabilidade é
P(x) = 2L sin^2 (pi xL) & para 0 <= x <= L 0 & caso contrário á

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