1. 3 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+2 y=x e^{{-2 x}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial e nos dá a equação abaixo. Vou transcrever claramente o que temos e o que é pedido:
A equação dada é
\frac{d y}{d x}+2 y = x e^{-2x}.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Função incógnita: } y=y(x).\\\ &\text{Equação: } \frac{d y}{d x}+2 y = x e^{-2x}.\\\ &\text{Não há condição inicial fornecida, logo queremos a solução geral (com constante de integração).} \end{aligned}çãóçããáçãçãçã

Passo 2

Vamos usar o método que transforma o lado esquerdo numa derivada exata. Considere uma equação linear de primeira ordem na forma
y'+P(x)y=Q(x),
onde escrevo y'=\dfrac{dy}{dx}, P(x) e Q(x) são funções conhecidas. A ideia é multiplicar a equação por um fator \mu(x) — chamado fator integrante — tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y. Queremos que
\mu(x)y'+\mu(x)P(x)y = \big(\mu(x)y\big)'.
Usando a regra do produto para derivadas, \big(\mu y\big)'=\mu'y+\mu y'. Para que isso seja igual a \mu y' + \mu P y devemos ter \mu'=\mu P. Isso é uma equação simples para \mu:
\frac{\mu'}{\mu}=P(x)\quad\Rightarrow\quad \ln\mu=\int P(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Ou seja, calcule \mu integrando P(x) e exponenciando; então multiplique a equação original por \mu e o lado esquerdo se torna (\mu y)'. Depois integramos ambos os lados.

Passo 3

Identifico P(x) e Q(x) na nossa equação. Comparando com y'+P(x)y=Q(x) temos
P(x)=2,\qquad Q(x)=x e^{-2x}.
Agora o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Expliquei antes por que \mu é assim: porque queremos \mu'=\mu P, e \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{2x}. Fazendo isso, cada termo fica:
e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{2x}\cdot x e^{-2x}.
No lado direito e^{2x}\cdot e^{-2x}=1, então simplifica para x. Assim obtemos
e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = x.
Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto e^{2x}y. Logo
\big(e^{2x}y\big)' = x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{2x}y\big)' \,dx = \int x \, dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{2x}y (mais constante, que colocamos só de um lado), e a integral do lado direito é uma integral básica:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Incluindo a constante de integração C, obtemos
e^{2x}y = \frac{x^2}{2} + C.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por e^{-2x}:
y = e^{-2x}\left(\frac{x^2}{2} + C\right).
Podemos também escrever de forma distribuída:
y = \frac{x^2}{2}e^{-2x} + C e^{-2x},
onde C é uma constante arbitrária real que aparece por causa da integração.

Passo 7

Cheque rápido (verificação) — isto garante que não cometemos erro algébrico. Se e^{2x}y=\dfrac{x^2}{2}+C então derivando ambos os lados:
\big(e^{2x}y\big)' = x.
Expandindo a derivada pela regra do produto dá e^{2x}y'+2e^{2x}y = x. Dividindo por e^{2x} recuperamos
y' + 2y = x e^{-2x},
que é exatamente a equação original. Portanto a solução está correta.

Passo 8

Observação final amigável: a técnica do fator integrante é muito prática para equações lineares de primeira ordem. O passo-chave é identificar P(x), calcular \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}, multiplicar e integrar. Se quiser, posso resolver outro exemplo rapidinho para treinar — você tenta e eu corrojo!

Resposta

y(x)=\left(\frac{x^2}{2}+C\right)e^{-2x}

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