- 3 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+2 y=x e^{{-2 x}}.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial e nos dá a equação abaixo. Vou transcrever claramente o que temos e o que é pedido:
A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos usar o método que transforma o lado esquerdo numa derivada exata. Considere uma equação linear de primeira ordem na forma
onde escrevo
,
e
são funções conhecidas. A ideia é multiplicar a equação por um fator
— chamado fator integrante — tal que o lado esquerdo vire a derivada de
. Queremos que
Usando a regra do produto para derivadas,
. Para que isso seja igual a
devemos ter
. Isso é uma equação simples para
:
Ou seja, calcule
integrando
e exponenciando; então multiplique a equação original por
e o lado esquerdo se torna
. Depois integramos ambos os lados.
Passo 3
Identifico
e
na nossa equação. Comparando com
temos
Agora o fator integrante é
Expliquei antes por que
é assim: porque queremos
, e
.
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Fazendo isso, cada termo fica:
No lado direito
, então simplifica para
. Assim obtemos
Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Logo
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
(mais constante, que colocamos só de um lado), e a integral do lado direito é uma integral básica:
Incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 6
Isolamos
multiplicando por
:
Podemos também escrever de forma distribuída:
onde
é uma constante arbitrária real que aparece por causa da integração.
Passo 7
Cheque rápido (verificação) — isto garante que não cometemos erro algébrico. Se
então derivando ambos os lados:
Expandindo a derivada pela regra do produto dá
. Dividindo por
recuperamos
que é exatamente a equação original. Portanto a solução está correta.
Passo 8
Observação final amigável: a técnica do fator integrante é muito prática para equações lineares de primeira ordem. O passo-chave é identificar
, calcular
, multiplicar e integrar. Se quiser, posso resolver outro exemplo rapidinho para treinar — você tenta e eu corrojo!