- 8 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}-2 y=x e^{{2 x}}.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de
com
e com a função conhecida
. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa igualdade para todo
, contendo uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, identificamos
Agora vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é definido por
Explico: a ideia do fator integrante é encontrar uma função
tal que, ao multiplicarmos toda a equação por
, o lado esquerdo vire a derivada do produto
. Isso torna a equação fácil de integrar.
Passo 3
Calculamos
:
Multiplicamos a equação original por
:
No lado direito
, então fica simplesmente
. No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
Portanto a equação transformada é
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral da derivada retorna a função:
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
multiplicando por
:
Passo 5
Fazer uma checagem rápida por substituição (opcional, mas útil): calculando
de
e substituindo em
obtemos
, confirmando que a solução está correta.