1. 8 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}-2 y=x e^{{2 x}}.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}-2 y = x e^{2 x}.
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de y com y e com a função conhecida x e^{2x}. O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa igualdade para todo x, contendo uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d x} + P(x)\,y = Q(x).
Aqui, identificamos
P(x) = -2,\qquad Q(x)=x e^{2x}.
Agora vamos usar o fator integrante. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=e^{\displaystyle\int P(x)\,dx}.
Explico: a ideia do fator integrante é encontrar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicarmos toda a equação por \mu, o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu y. Isso torna a equação fácil de integrar.

Passo 3

Calculamos \mu(x):
\mu(x)=e^{\displaystyle\int -2\,dx}=e^{-2x}.
Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{-2x}\frac{d y}{d x}-2e^{-2x}y = x e^{2x} e^{-2x}.
No lado direito e^{2x} e^{-2x}=1, então fica simplesmente x. No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr)=e^{-2x}\frac{d y}{d x}-2e^{-2x}y.
Portanto a equação transformada é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr)=x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr)\,dx = \int x\,dx.
No lado esquerdo a integral da derivada retorna a função:
e^{-2x}y = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y multiplicando por e^{2x}:
y = e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right).

Passo 5

Fazer uma checagem rápida por substituição (opcional, mas útil): calculando \frac{dy}{dx} de y=e^{2x}\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right) e substituindo em \frac{dy}{dx}-2y obtemos x e^{2x}, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y = \left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)e^{2x}

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