1. 2 (F) Resolva:
\frac{d y}{d x}-y=x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}-y=x
e pede que se resolva — ou seja, que se encontre a família de funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\text{equação: }\frac{dy}{dx}-y=x,\qquad y=y(x)\text{ é a incógnita, }x\text{ a variável independente.}çãéóá

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma padrão que facilita a solução. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).
Comparando com a equação dada, identificamos
P(x)=-1,\qquad Q(x)=x.
Explico: isso significa que podemos trabalhar com as funções P e Q para aplicar um procedimento sistemático (não se preocupe com o nome agora; vou mostrar passo a passo).

Passo 3

O truque eficiente aqui é multiplicar a equação por um fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui \int P(x)\,dx=\int (-1)\,dx=-x, então
\mu(x)=e^{-x}.
Por que fazemos isso? Porque ao multiplicar a equação por \mu a parte da esquerda vira a derivada de \mu(x)y(x). Vou mostrar isso explicitamente no próximo passo.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y = x e^{-x}.
Agora verificamos que a derivada de \mu y é
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}\frac{dy}{dx}+y(-e^{-x})=e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y,
ou seja, a esquerda da equação é exatamente \dfrac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big). Portanto a equação vira
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=x e^{-x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)\,dx = \int x e^{-x}\,dx.
A integral da derivada no lado esquerdo é simplesmente e^{-x}y, mais uma constante de integração à direita. Assim:
e^{-x}y = \int x e^{-x}\,dx + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Agora calculamos a integral \int x e^{-x}\,dx usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=x e dv=e^{-x}dx. Então du=dx e
v=\int e^{-x}dx = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\,dx.
Isso é
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + \text{const}.
Podemos agrupar como
\int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + \text{const}.

Passo 7

Voltando para a expressão do Passo 5, substituímos a integral calculada:
e^{-x}y = -(x+1)e^{-x} + C.
Multiplicamos ambos os lados por e^{x} para isolar y:
y = -(x+1) + C e^{x}.
Podemos também escrever de forma expandida:
y = -x - 1 + C e^{x},
onde C é uma constante arbitrária real. Essa é a família geral de soluções da equação diferencial dada.

Passo 8

Rápida verificação (para dar confiança): se y=-x-1+Ce^{x}, então
\frac{dy}{dx}=-1+Ce^{x},
e
\frac{dy}{dx}-y = (-1+Ce^{x}) - (-x-1+Ce^{x}) = x,
logo satisfaz a equação original. Tudo conferido!

Resposta

y(x) = -x - 1 + C e^{x}

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