- 2 (F) Resolva:
\frac{d y}{d x}-y=x.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se resolva — ou seja, que se encontre a família de funções
que satisfazem essa igualdade para todo
.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma padrão que facilita a solução. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
Comparando com a equação dada, identificamos
Explico: isso significa que podemos trabalhar com as funções
e
para aplicar um procedimento sistemático (não se preocupe com o nome agora; vou mostrar passo a passo).
Passo 3
O truque eficiente aqui é multiplicar a equação por um fator integrante
definido por
Aqui
, então
Por que fazemos isso? Porque ao multiplicar a equação por
a parte da esquerda vira a derivada de
. Vou mostrar isso explicitamente no próximo passo.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora verificamos que a derivada de
é
ou seja, a esquerda da equação é exatamente
. Portanto a equação vira
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada no lado esquerdo é simplesmente
, mais uma constante de integração à direita. Assim:
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Agora calculamos a integral
usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
e
. Então
e
Aplicando a fórmula:
Isso é
Podemos agrupar como
Passo 7
Voltando para a expressão do Passo 5, substituímos a integral calculada:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Podemos também escrever de forma expandida:
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a família geral de soluções da equação diferencial dada.
Passo 8
Rápida verificação (para dar confiança): se
, então
e
logo satisfaz a equação original. Tudo conferido!