1. 9 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+\operatorname{tag}(x) \cdot y=\operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+\operatorname{tg}(x)\cdot y=\operatorname{sen}x.
Vou interpretar \operatorname{tg}(x) como a tangente, isto é \tan x. Portanto a equação que vamos resolver é
\frac{dy}{dx}+\tan x\;y=\sin x.
Informações dadas que vamos usar:
\text{função desconhecida: }y(x),\qquad P(x)=\tan x,\qquad Q(x)=\sin x.çã
Observação importante: a tangente e a secante ficam indefinidas onde \cos x=0, então a solução será considerada em intervalos onde \cos x\neq 0.

Passo 2

Identificamos que esta é uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
O método apropriado é o do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada total de \mu(x)y(x). Para isso escolhemos \mu satisfazendo
\frac{d\mu}{dx}=P(x)\,\mu(x),
o que implica
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, P(x)=\tan x. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \tan x\,dx\Big).
Agora calculamos \int \tan x\,dx. Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, faça a substituição u=\cos x, então du=-\sin x\,dx. Assim
\int \tan x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\int \frac{du}{u}=-\ln|\!u\!|+C=-\ln|\cos x|+C.
Logo, desprezando a constante multiplicativa irrelevante no fator integrante,
\mu(x)=e^{-\ln|\cos x|}=\frac{1}{|\cos x|=\;}\operatorname{sec} x\quad(\text{em um intervalo onde }\cos x\neq0).
Para trabalhar comodamente escolhemos \mu(x)=\operatorname{sec} x (válido em cada intervalo onde \cos x tem sinal fixo).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\operatorname{sec} x. Obtemos
\operatorname{sec} x\frac{dy}{dx}+\operatorname{sec} x\tan x\;y=\operatorname{sec} x\sin x.
Repare que a derivada de y\operatorname{sec} x é
\frac{d}{dx}\big(y\operatorname{sec} x\big)=\operatorname{sec} x\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\frac{dy}{dx}+y\operatorname{sec} x\tan x,
portanto o lado esquerdo da equação é exatamente \dfrac{d}{dx}(y\operatorname{sec} x). No lado direito,
\operatorname{sec} x\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(y\operatorname{sec} x\big)=\tan x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\operatorname{sec} x=\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 6

Isolando y, multiplicamos ambos os lados por \cos x:
y=\cos x\big(-\ln|\cos x|+C\big).
Podemos reescrever a solução geral de forma mais agradável como
y(x)=C\cos x - \cos x\ln|\cos x|.
Aqui C é uma constante real arbitrária e a solução vale em cada intervalo onde \cos x\neq 0.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): derivando y(x)=C\cos x-\cos x\ln|\cos x| e substituindo em \dfrac{dy}{dx}+\tan x\,y obtemos \sin x, ou seja, a solução satisfaz a equação original (os detalhes algébricos da verificação foram feitos mentalmente, mas se quiser eu faço passo a passo).

Resposta

y(x)=C\cos x-\cos x\ln|\cos x|, \;C\in\mathbb{R} (válida em intervalos onde \cos x\neq0).

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