- 9 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+\operatorname{tag}(x) \cdot y=\operatorname{sen} x.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Vou interpretar
como a tangente, isto é
. Portanto a equação que vamos resolver é
Informações dadas que vamos usar:
Observação importante: a tangente e a secante ficam indefinidas onde
, então a solução será considerada em intervalos onde
.
Passo 2
Identificamos que esta é uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
O método apropriado é o do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada total de
. Para isso escolhemos
satisfazendo
o que implica
Passo 3
Aplicando ao nosso caso,
. Calculamos o fator integrante:
Agora calculamos
. Como
, faça a substituição
, então
. Assim
Logo, desprezando a constante multiplicativa irrelevante no fator integrante,
Para trabalhar comodamente escolhemos
(válido em cada intervalo onde
tem sinal fixo).
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos
Repare que a derivada de
é
portanto o lado esquerdo da equação é exatamente
. No lado direito,
Logo a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 6
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos reescrever a solução geral de forma mais agradável como
Aqui
é uma constante real arbitrária e a solução vale em cada intervalo onde
.
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): derivando
e substituindo em
obtemos
, ou seja, a solução satisfaz a equação original (os detalhes algébricos da verificação foram feitos mentalmente, mas se quiser eu faço passo a passo).