2.9 (M) Resolva: frac{d y}{d x}+\operatorname{tag}(x) \cdot y=\operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+\operatorname{tag}(x)\cdot y=\operatorname{sen}x.
Vou interpretar \operatorname{tag}(x) como a função tangente, i.e., \tan x. Portanto o problema a resolver é:
\frac{dy}{dx}+\tan x\; y=\sin x.
Pergunta: encontrar a solução geral y(x). Informações relevantes: a equação é de primeira ordem linear; atenção ao domínio (onde \cos x\neq 0).

Passo 2

Colocando a equação na forma padrão y'+P(x)y=Q(x), identificamos
P(x)=\tan x,\qquad Q(x)=\sin x.
Aqui y'=\dfrac{dy}{dx}. A técnica padrão para esse tipo de equação é usar o fator integrante (integrating factor).

Passo 3

Explicando o fator integrante: queremos multiplicar a equação por uma função \mu(x) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto, isto é,
\mu(x)\Big(y'+P(x)y\Big) = (\mu(x)y)'.
Pela regra do produto, (\mu y)'=\mu y' + \mu' y. Para que isso coincida com \mu(y'+P y) precisamos ter \mu'=\mu P, ou seja
\frac{\mu'}{\mu}=P(x).
Integrando, \ln\mu=\int P(x)\,dx, e portanto escolhemos
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Essa é a fórmula do fator integrante — é a peça chave pra transformar a ODE numa integral simples.

Passo 4

Calculamos agora \mu(x) com P(x)=\tan x. Precisamos de \int \tan x\,dx. Fazer essa integral passo a passo:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Use a substituição u=\cos x, então du=-\sin x\,dx. Assim
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|\!u| + C = -\ln|\cos x| + C.
Portanto
\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|.

Passo 5

Com isso, o fator integrante fica
\mu(x)=\exp\!\big(\!-\ln|\cos x|\big)=\frac{1}{|\cos x|}.
Para obter uma forma simples e usar continuidade de sinal em intervalos onde \cos x não muda de sinal, podemos escolher
\mu(x)=\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},
válido em qualquer intervalo onde \cos x\neq 0. (A constante multiplicativa positiva não altera a solução geral.)

Passo 6

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x\;y' + \operatorname{sec} x\tan x\; y = \operatorname{sec} x\sin x.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto \operatorname{sec} x\cdot y. De fato, pela regra do produto,
(\operatorname{sec} x\;y)'=\operatorname{sec} x\;y' + (\operatorname{sec} x)'\;y = \operatorname{sec} x\;y' + \operatorname{sec} x\tan x\;y.
Logo a equação fica
(\operatorname{sec} x\;y)' = \operatorname{sec} x\sin x.

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a x:
\operatorname{sec} x\;y = \int \operatorname{sec} x\sin x\;dx + C.
Observe que \operatorname{sec} x\sin x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x. Assim
\int \operatorname{sec} x\sin x\;dx = \int \tan x\;dx = -\ln|\cos x| + C_1.
Logo
\operatorname{sec} x\;y = -\ln|\cos x| + C,
onde absorvemos constantes em uma única C.

Passo 8

Isolando y, multiplicamos por \cos x:
y = \cos x\big(-\ln|\cos x| + C\big).
Podemos escrever a solução geral de forma mais bonita como
y(x) = -\cos x\;\ln|\cos x| + C\cos x,
onde C é constante arbitrária e a solução vale em intervalos onde \cos x\neq 0.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular y' a partir da solução e substituir na equação original deve retornar \sin x. Isso confirma que a solução encontrada satisfaz a ODE (deixo os detalhes algébricos, que seguem diretamente da diferenciação por produto e da identidade \dfrac{d}{dx}\ln|\cos x|=-\tan x).

Resposta

y(x) = -\cos x\;\ln|\cos x| + C\cos x

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