2.9 (M) Resolva:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Vou interpretar
como a função tangente, i.e.,
. Portanto o problema a resolver é:
Pergunta: encontrar a solução geral
. Informações relevantes: a equação é de primeira ordem linear; atenção ao domínio (onde
).
Passo 2
Colocando a equação na forma padrão
, identificamos
Aqui
. A técnica padrão para esse tipo de equação é usar o fator integrante (integrating factor).
Passo 3
Explicando o fator integrante: queremos multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto, isto é,
Pela regra do produto,
. Para que isso coincida com
precisamos ter
, ou seja
Integrando,
, e portanto escolhemos
Essa é a fórmula do fator integrante — é a peça chave pra transformar a ODE numa integral simples.
Passo 4
Calculamos agora
com
. Precisamos de
. Fazer essa integral passo a passo:
Use a substituição
, então
. Assim
Portanto
Passo 5
Com isso, o fator integrante fica
Para obter uma forma simples e usar continuidade de sinal em intervalos onde
não muda de sinal, podemos escolher
válido em qualquer intervalo onde
. (A constante multiplicativa positiva não altera a solução geral.)
Passo 6
Multiplicamos a equação original por
:
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto
. De fato, pela regra do produto,
Logo a equação fica
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
Observe que
. Assim
Logo
onde absorvemos constantes em uma única
.
Passo 8
Isolando
, multiplicamos por
:
Podemos escrever a solução geral de forma mais bonita como
onde
é constante arbitrária e a solução vale em intervalos onde
.
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular
a partir da solução e substituir na equação original deve retornar
. Isso confirma que a solução encontrada satisfaz a ODE (deixo os detalhes algébricos, que seguem diretamente da diferenciação por produto e da identidade
).