Resolva:
\frac{d y}{d x}=e^{x}\left(1+y^{2}\right), \quad y(0)=0.

Passo 1

O enunciado fornece uma equação diferencial e uma condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. As informações são:
\displaystyle \frac{d y}{d x}=e^{x}\left(1+y^{2}\right) e y(0)=0.
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Observamos que podemos separar as variáveis x e y — isto é, colocar todos os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro. Para isso dividimos ambos os lados por 1+y^{2} (que nunca é zero, pois 1+y^{2}\ge 1) e multiplicamos por dx, obtendo:
\frac{dy}{1+y^{2}}=e^{x}\,dx.
Separar variáveis é uma técnica que funciona quando a equação pode ser escrita como g(y)\,dy = h(x)\,dx; aí integramos cada lado em sua variável.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Lembre que \frac{d}{dy}(\arctan y)=\frac{1}{1+y^{2}} e que \int e^{x}\,dx=e^{x}+C. Assim:
\int \frac{dy}{1+y^{2}}=\int e^{x}\,dx
\arctan y = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui eu usei a primitiva conhecida de \frac{1}{1+y^{2}}, que dá \arctan y.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=0 para determinar C. Substituindo x=0 e y=0 em \arctan y = e^{x}+C obtemos:
\arctan 0 = e^{0} + C \quad\Rightarrow\quad 0 = 1 + C,
portanto
C = -1.
Logo a relação entre y e x é
\arctan y = e^{x}-1.

Passo 5

Isolamos y aplicando a tangente em ambos os lados (função inversa de \arctan):
y=\tan\bigl(e^{x}-1\bigr).
Devemos comentar sobre o domínio: \tan tem singularidades quando seu argumento é \frac{\pi}{2}+k\pi ( k\in\mathbb{Z}). A solução com condição inicial em x=0 está bem definida em pelo menos um intervalo que contém 0. O menor valor de x>0 que causa singularidade satisfaz e^{x}-1=\frac{\pi}{2}, isto é x=\ln\!\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr). Como e^{x}-1>-1 para todo x, não há singularidade à esquerda de 0. Assim a solução maximal que contém 0 existe em
(-\infty,\;\ln\!\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr))
e explode (tende a \pm\infty) quando x se aproxima de \ln\!\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr) pela esquerda. Para a prova, normalmente é suficiente apresentar a expressão explícita y=\tan(e^{x}-1) e mencionar que a solução é válida enquanto e^{x}-1\neq \frac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 6

Resumo da receita que você pode usar na prova para equações deste tipo: (i) veja se dá para separar variáveis; (ii) escreva \int g(y)\,dy=\int h(x)\,dx; (iii) use primitivias conhecidas (como \int\frac{dy}{1+y^{2}}=\arctan y); (iv) aplique a condição inicial para achar a constante; (v) isole y e verifique domínio/intervalo de existência. Dá para decorar esse passo a passo e aplicar rápido em prova. Força — você consegue!

Resposta

\displaystyle y(x)=\tan\bigl(e^{x}-1\bigr)

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