Resolva:
.
Passo 1
O enunciado fornece uma equação diferencial e uma condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. As informações são:
e
.
O objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
O objetivo é encontrar a função
Passo 2
Observamos que podemos separar as variáveis
e
— isto é, colocar todos os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro. Para isso dividimos ambos os lados por
(que nunca é zero, pois
) e multiplicamos por
, obtendo:
Separar variáveis é uma técnica que funciona quando a equação pode ser escrita como
; aí integramos cada lado em sua variável.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Lembre que
e que
. Assim:
onde
é a constante de integração. Aqui eu usei a primitiva conhecida de
, que dá
.
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
obtemos:
portanto
Logo a relação entre
e
é
Passo 5
Isolamos
aplicando a tangente em ambos os lados (função inversa de
):
Devemos comentar sobre o domínio:
tem singularidades quando seu argumento é
(
). A solução com condição inicial em
está bem definida em pelo menos um intervalo que contém
. O menor valor de
que causa singularidade satisfaz
, isto é
. Como
para todo
, não há singularidade à esquerda de
. Assim a solução maximal que contém
existe em
e explode (tende a
) quando
se aproxima de
pela esquerda. Para a prova, normalmente é suficiente apresentar a expressão explícita
e mencionar que a solução é válida enquanto
.
Passo 6
Resumo da receita que você pode usar na prova para equações deste tipo: (i) veja se dá para separar variáveis; (ii) escreva
; (iii) use primitivias conhecidas (como
); (iv) aplique a condição inicial para achar a constante; (v) isole
e verifique domínio/intervalo de existência. Dá para decorar esse passo a passo e aplicar rápido em prova. Força — você consegue!