2.10 (M) Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial de primeira ordem.
- O coeficiente de
é . - O termo independente (lado direito) é
. - O domínio é
(isso permite manipular sem ambiguidade de valor absoluto).
A tarefa é encontrar a solução geral.
Passo 2
Identificar a forma padrão: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
Aqui temos
e
. O método mais direto é usar o fator integrante (integrating factor).
Passo 3
Explicar o fator integrante: buscamos uma função
tal que, multiplicando a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Isso acontece se
satisfizer
ou seja
Integrando ambos os lados obtemos
Podemos escolher a constante zero (qualquer constante multiplicativa no fator integrante só muda a constante de integração final).
Passo 4
Calcular o fator integrante para nosso
:
usando que
. Portanto
Então o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. A equação fica
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo e o lado direito:
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Ou seja,
(Explicação rápida: aplicar a regra do produto a
dá
, que é exatamente o lado esquerdo.)
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
onde
é a constante de integração. Portanto
Passo 7
Isolar
dividindo por
(e lembrando que
, então divisão é válida):
Aqui
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): calcular
para a solução encontrada e substituir na equação original para checar que dá
.
Derivando obtemos
Derivando
Agora
como exigido. A solução está correta.