2.10 (M) Resolva: frac{d y}{d x}+\left(\frac{2}{x}\right) y=x^{2}, \quad x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+\left(\frac{2}{x}\right) y=x^{2},\qquad x>0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial de primeira ordem.
  • O coeficiente de y é \frac{2}{x}.
  • O termo independente (lado direito) é x^{2}.
  • O domínio é x>0 (isso permite manipular \ln x sem ambiguidade de valor absoluto).
    A tarefa é encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Identificar a forma padrão: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Aqui temos P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=x^{2}. O método mais direto é usar o fator integrante (integrating factor).

Passo 3

Explicar o fator integrante: buscamos uma função \mu(x) tal que, multiplicando a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y. Isso acontece se \mu satisfizer
\mu'(x)=\mu(x)P(x),
ou seja
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x).
Integrando ambos os lados obtemos
\ln\mu(x)=\int P(x)\,dx + \text{constante}.
Podemos escolher a constante zero (qualquer constante multiplicativa no fator integrante só muda a constante de integração final).

Passo 4

Calcular o fator integrante para nosso P(x)=\dfrac{2}{x}:
\int P(x)\,dx=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln x=\ln x^{2},
usando que x>0. Portanto
\mu(x)=e^{\ln x^{2}}=x^{2}.
Então o fator integrante é \mu(x)=x^{2}.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x^{2}. A equação fica
x^{2}\frac{dy}{dx}+x^{2}\cdot\frac{2}{x}\,y = x^{2}\cdot x^{2}.
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo e o lado direito:
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y = x^{4}.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y=x^{2}y. Ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)=x^{4}.
(Explicação rápida: aplicar a regra do produto a \frac{d}{dx}(x^{2}y) 2x y + x^{2}\frac{dy}{dx}, que é exatamente o lado esquerdo.)

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)\,dx=\int x^{4}\,dx.
A integral do lado esquerdo é x^{2}y. A integral do lado direito é
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}+C,
onde C é a constante de integração. Portanto
x^{2}y=\frac{x^{5}}{5}+C.

Passo 7

Isolar y dividindo por x^{2} (e lembrando que x>0, então divisão é válida):
y=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{x^{5}}{5}+C\right)=\frac{x^{3}}{5}+C x^{-2}.
Aqui C é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): calcular \dfrac{dy}{dx} para a solução encontrada e substituir na equação original para checar que dá x^{2}.
Derivando y=\dfrac{x^{3}}{5}+C x^{-2} obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{5}x^{2}-2C x^{-3}.
Agora
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=\left(\frac{3}{5}x^{2}-2C x^{-3}\right)+\frac{2}{x}\left(\frac{x^{3}}{5}+C x^{-2}\right)
=\frac{3}{5}x^{2}-2C x^{-3}+\frac{2}{5}x^{2}+2C x^{-3}=\left(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\right)x^{2}=x^{2},
como exigido. A solução está correta.

Resposta

y=\frac{x^{3}}{5}+C x^{-2},\quad C\in\mathbb{R}.

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