Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
com a condição inicial
Observações fornecidas: a variável independente é
e a dependente é
. O enunciado não forneceu restrições explícitas sobre
, mas já vemos que
seria problemático por estar no denominador.
Passo 2
Identificar uma estratégia prática (explicada passo a passo): vamos tentar separar variáveis — isto significa escrever todos os fatores com
multiplicando
e todos os fatores com
multiplicando
, para então integrar cada lado. Para entender o porquê: se uma equação tem a forma
, podemos escrever
e integrar. Aqui já temos a forma conveniente:
Reescrevendo com as diferenciais:
Expliquei: dividimos ambos os lados por
(supondo
localmente) e multiplicamos por
, deixando os
do lado esquerdo e os
do lado direito.
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Vou mostrar como integrar cada um com calma:
Lado esquerdo:
. A antiderivada de
é
quando
. Aqui
, então
Lado direito: a antiderivada de
é o logaritmo natural. Como
pode ser positivo ou negativo, usamos
:
Assim, após integrar, obtemos (somando uma constante de integração global
):
Passo 4
Agora isolamos
. A equação
pode ser invertida multiplicando por
e invertendo:
Podemos renomear a constante
por
se quisermos, mas aqui vou continuar e obter explicitamente
:
Para ficar mais elegante depois da aplicação da condição inicial, vou reorganizar: quando substituirmos
encontraremos uma forma mais simples.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
e
na forma obtida em Passo 3,
Como
, temos
Substituindo
em
obtemos
Multiplicando por
e invertendo,
e finalmente
Verifique mentalmente: em
temos
e
, ok.
Passo 6
Comentários importantes para a prova (domínio e unicidade, bem didático):
- Não podemos ter
porque a equação original tem . Portanto o domínio exclui . - Também o denominador da solução não pode ser zero:
, i.e. , logo . Então o ponto (e ) são lugares onde a solução explode. - A condição inicial
está em , e nesse intervalo então o denominador é não nulo. Assim o intervalo máximo de existência que contém é . - Sobre unicidade: a função
e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas em qualquer região que não contenha . Então pelo teorema de existência e unicidade, a solução que encontramos é única no torno de .
Dica de prova: na prova, se pedirem intervalo de validade, lembre-se de olhar zeros do denominador e pontos onde o RHS deixa de ser contínuo.
Passo 7
Resumo prático para fazer rápido na prova: separar
em
, integrar (à esquerda dá
, à direita dá
), encontrar constante com a condição inicial e isolar
. Respire fundo — você consegue!