Resolva:
y^{\prime}=\frac{y^{2}}{x}, y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
y'=\frac{y^{2}}{x},
com a condição inicial
y(1)=1.
Observações fornecidas: a variável independente é x e a dependente é y. O enunciado não forneceu restrições explícitas sobre x, mas já vemos que x=0 seria problemático por estar no denominador.

Passo 2

Identificar uma estratégia prática (explicada passo a passo): vamos tentar separar variáveis — isto significa escrever todos os fatores com y multiplicando dy e todos os fatores com x multiplicando dx, para então integrar cada lado. Para entender o porquê: se uma equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y), podemos escrever \dfrac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx e integrar. Aqui já temos a forma conveniente:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{x}.
Reescrevendo com as diferenciais:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{x}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y^{2}}\,dy=\frac{1}{x}\,dx.
Expliquei: dividimos ambos os lados por y^{2} (supondo y\neq0 localmente) e multiplicamos por dx, deixando os y do lado esquerdo e os x do lado direito.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Vou mostrar como integrar cada um com calma:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int \frac{1}{x}\,dx.
Lado esquerdo: \dfrac{1}{y^{2}}=y^{-2}. A antiderivada de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} quando n\neq-1. Aqui n=-2, então
\int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}.
Lado direito: a antiderivada de \dfrac{1}{x} é o logaritmo natural. Como x pode ser positivo ou negativo, usamos \ln|x|:
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
Assim, após integrar, obtemos (somando uma constante de integração global C):
-\frac{1}{y}=\ln|x|+C.

Passo 4

Agora isolamos y. A equação
-\frac{1}{y}=\ln|x|+C
pode ser invertida multiplicando por -1 e invertendo:
\frac{1}{y}= -\ln|x|-C.
Podemos renomear a constante -C por C_1 se quisermos, mas aqui vou continuar e obter explicitamente y:
y=\frac{1}{-\,\ln|x|-C}.
Para ficar mais elegante depois da aplicação da condição inicial, vou reorganizar: quando substituirmos C encontraremos uma forma mais simples.

Passo 5

Aplicar a condição inicial \,y(1)=1. Substituindo x=1 e y=1 na forma obtida em Passo 3,
-\frac{1}{1}=\ln|1|+C.
Como \ln|1|=0, temos
-1=C.
Substituindo C=-1 em
-\frac{1}{y}=\ln|x|+C,
obtemos
-\frac{1}{y}=\ln|x|-1.
Multiplicando por -1 e invertendo,
\frac{1}{y}=1-\ln|x|
e finalmente
y=\frac{1}{1-\ln|x|}.
Verifique mentalmente: em x=1 temos \ln1=0 e y=1/(1-0)=1, ok.

Passo 6

Comentários importantes para a prova (domínio e unicidade, bem didático):
  • Não podemos ter x=0 porque a equação original tem \dfrac{y^{2}}{x}. Portanto o domínio exclui 0.
  • Também o denominador da solução não pode ser zero: 1-\ln|x|\neq0, i.e. \ln|x|\neq1, logo |x|\neq e. Então o ponto x=e (e x=-e) são lugares onde a solução explode.
  • A condição inicial x=1 está em (0,e), e nesse intervalo \ln|x|<1 então o denominador é não nulo. Assim o intervalo máximo de existência que contém x=1 é (0,e).
  • Sobre unicidade: a função f(x,y)=y^{2}/x e sua derivada parcial em relação a y, \partial f/\partial y=2y/x, são contínuas em qualquer região que não contenha x=0. Então pelo teorema de existência e unicidade, a solução que encontramos é única no torno de x=1.
    Dica de prova: na prova, se pedirem intervalo de validade, lembre-se de olhar zeros do denominador e pontos onde o RHS deixa de ser contínuo.

Passo 7

Resumo prático para fazer rápido na prova: separar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}}{x} em \dfrac{1}{y^{2}}dy=\dfrac{1}{x}dx, integrar (à esquerda dá -1/y, à direita dá \ln|x|), encontrar constante com a condição inicial e isolar y. Respire fundo — você consegue!

Resposta

y=\frac{1}{1-\ln|x|}

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