(M) Um solenóide longo de raio a é posicionado no interior de um segundo solenóide longo de raio b(b>a), de forma que seus eixos sejam coincidentes com o eixo Z de um sitema de coordenadas cartesianas. O número de espiras por unidade de comprimento em cada solenóide vale n1 e n2, respectivamente. Suponha que os solenóides podem ser tratados como infinitos e que o enrolamento dos fios é compacto. Quando conveniente, considere um segmento de solenóide de comprimento l nas análises.
(a) Determine a intensidade do campo magnético produzido pelo solenóide maior em seu interior, quando ele é atravessado por uma corrente estacionária de intensidade I.
(b) Determine a auto-indutância por unidade de comprimento do solenóide externo.
(c) Determine a indutância mútua por unidade de comprimento entre o solenóide externo e o solenóide interno.
(d) Suponha agora que o solenóide menor seja deslocado perpendicularmente ao seu eixo por uma distância d (d<b-a). Determine a indutância mútua do sistema nessa nova configuração.

Passo 1

O enunciado descreve dois solenóides infinitos, coaxiais, um de raio b (externo) com densidade de espiras n2 e outro de raio a<b (interno) com densidade n1. Vamos usar magnetostática de longa solenóide e as definições de auto-e mutu-indutância:
– o campo dentro de um solenóide longo e compacto é obtido pela lei de Ampère;
– a auto-indutância L satisfaz L=NPhiI;
– a indutância mútua M satisfaz M=N1Phi12I2.

Passo 2

Para o solenóide externo de raio b e densidade n2, aplicamos a lei de Ampère num retângulo que atravessa o interior do enrolamento. Como ele é longo e o enrolamento compacto, o campo no interior é uniforme e só tem componente axial Bz. A integral de Ampère dá
oint Bcdot dl = mu0,Irm enc longrightarrow Bz,(perímetro interno)=mu0,n2,I í
Mas o campo interno não varia com a posição angular, logo
Brm interno = mu0,n2,I

Passo 3

A auto-indutância do solenóide externo de comprimento l é
L = N,PhiI,
onde N = n2,l é o número total de espiras e Phi = Brm internotimes A com A=pi b^2. Substituindo:
L = n2,l;l(mu0,n2,I;pi b^2r)I = mu0,n2^2,pi b^2,l
Portanto, por unidade de comprimento,
Ll = mu0,n2^2,pi b^2

Passo 4

A indutância mútua por unidade de comprimento entre o externo e o interno também vem da definição
M = N1,Phi12I2,
com N1=n1,l e Phi12=B2times A1, onde A1=pi a^2 é a área de uma espira interna e B2=mu0n2I2 é o campo do solenóide externo. Assim,
M = n1,l;l(mu0,n2,I2;pi a^2r)I2 = mu0,n1,n2,pi a^2,l,
logo, por unidade de comprimento,
Ml = mu0,n1,n2,pi a^2

Passo 5

Quando o solenóide menor é deslocado lateralmente por d tal que d<b-a, sua seção circular de raio a permanece inteiramente no interior da região onde o campo do solenóide maior é uniforme ( r<b). Portanto o fluxo por espira interna continua sendo B2,pi a^2 e a indutância mútua não muda. Assim,
M = mu0,n1,n2,pi a^2,l

Resposta

(a) Brm interno=mu0,n2,I.
(b) Ll=mu0,n2^2,pi b^2.
(c) Ml=mu0,n1,n2,pi a^2.
(d) M=mu0,n1,n2,pi a^2,l (mesmo valor de (c) vezes l).

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