(M) Um solenóide longo de raio
é posicionado no interior de um segundo solenóide longo de raio
, de forma que seus eixos sejam coincidentes com o eixo
de um sitema de coordenadas cartesianas. O número de espiras por unidade de comprimento em cada solenóide vale
e
, respectivamente. Suponha que os solenóides podem ser tratados como infinitos e que o enrolamento dos fios é compacto. Quando conveniente, considere um segmento de solenóide de comprimento
nas análises.
(a) Determine a intensidade do campo magnético produzido pelo solenóide maior em seu interior, quando ele é atravessado por uma corrente estacionária de intensidade
.
(b) Determine a auto-indutância por unidade de comprimento do solenóide externo.
(c) Determine a indutância mútua por unidade de comprimento entre o solenóide externo e o solenóide interno.
(d) Suponha agora que o solenóide menor seja deslocado perpendicularmente ao seu eixo por uma distância
. Determine a indutância mútua do sistema nessa nova configuração.
(a) Determine a intensidade do campo magnético produzido pelo solenóide maior em seu interior, quando ele é atravessado por uma corrente estacionária de intensidade
(b) Determine a auto-indutância por unidade de comprimento do solenóide externo.
(c) Determine a indutância mútua por unidade de comprimento entre o solenóide externo e o solenóide interno.
(d) Suponha agora que o solenóide menor seja deslocado perpendicularmente ao seu eixo por uma distância
Passo 1
O enunciado descreve dois solenóides infinitos, coaxiais, um de raio
(externo) com densidade de espiras
e outro de raio
(interno) com densidade
. Vamos usar magnetostática de longa solenóide e as definições de auto-e mutu-indutância:
– o campo dentro de um solenóide longo e compacto é obtido pela lei de Ampère;
– a auto-indutância satisfaz
;
– a indutância mútua satisfaz
.
– o campo dentro de um solenóide longo e compacto é obtido pela lei de Ampère;
– a auto-indutância
– a indutância mútua
Passo 2
Para o solenóide externo de raio
e densidade
, aplicamos a lei de Ampère num retângulo que atravessa o interior do enrolamento. Como ele é longo e o enrolamento compacto, o campo no interior é uniforme e só tem componente axial
. A integral de Ampère dá
Mas o campo interno não varia com a posição angular, logo
Passo 3
A auto-indutância do solenóide externo de comprimento
é
onde
é o número total de espiras e
com
. Substituindo:
Portanto, por unidade de comprimento,
Passo 4
A indutância mútua por unidade de comprimento entre o externo e o interno também vem da definição
com
e
, onde
é a área de uma espira interna e
é o campo do solenóide externo. Assim,
logo, por unidade de comprimento,
Passo 5
Quando o solenóide menor é deslocado lateralmente por
tal que
, sua seção circular de raio
permanece inteiramente no interior da região onde o campo do solenóide maior é uniforme (
). Portanto o fluxo por espira interna continua sendo
e a indutância mútua não muda. Assim,
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) (mesmo valor de (c) vezes
).
(b)
(c)
(d)