(D) Um cabo coaxial é formado por um cilindro circular reto, condutor, maciço, de raio a e uma casca cilíndrica condutora de raio b(b>a), coaxial ao cilindro. Uma corrente estacionária de intensidade I flui ao longo do eixo do cilindro, uniformemente distribuída sobre sua seção transversal, e uma corrente estacionária de mesma intensidade flui ao longo da casca cilíndrica, em sentido oposto à do cilindro.
(a) Utilizando a lei de Ampère, determine a intensidade do campo magnético no interior da região entre o cilindro e a casca, ou seja, para a<s<b, onde s é a distância ao eixo do cilindro.
(b) Calcule o fluxo de campo magnético através de uma superfície retangular com dois lados paralelos à direção radial, se estendendo por toda a região do item anterior, e dois lados paralelos ao eixo do cabo, de comprimento l.
(c) A partir do resultado acima, determine a auto-indutância por unidade de comprimento deste cabo.

Passo 1

O enunciado trata de um cabo coaxial formado por um condutor cilíndrico maciço de raio a e uma casca cilíndrica de raio b (com b>a). Pelo condutor interno passa uma corrente estacionária de intensidade I e, pela casca externa, uma corrente também de intensidade I no sentido oposto. O objetivo é usar a lei de Ampère para encontrar o campo magnético em a<s<b, depois calcular o fluxo magnético através de uma superfície retangular que percorre radialmente de s=a a s=b e axialmente de comprimento l, e finalmente obter a indutância por unidade de comprimento do cabo a partir desse fluxo.

Passo 2

Para a<s<b, aplicamos a lei de Ampère num caminho circular de raio s, coaxial ao cabo. Como a corrente da casca externa ainda não está envolvida, a corrente envolvida é somente I. A lei de Ampère diz
oint Bcdot dell = mu0 Irm enc
Por simetria cilíndrica B é tangencial e constante em módulo, então
Bphi(s),(2pi s)=mu0 I Longrightarrow Bphi(s)=mu0 I2pi s

Passo 3

Escolhemos a superfície retangular cujo lado radial vai de s=a a s=b e cujo lado axial tem comprimento l. O vetor normal dessa superfície é ephi, de modo que
Phi = integral!0^l!integrala^b B(s)cdotephi,ds,dz =integral0^l!integrala^bmu0 I2pi s,ds,dz =mu0 I,l2piintegrala^b1s,ds =mu0 I,l2piln!l(bar)

Passo 4

A auto-indutância L está definida por Phi=L,I. Como a geometria é uniforme, definimos a indutância por unidade de comprimento L' via L=!L' l. Assim,
L';=;PhiI,l =mu02piln!l(bar)

Resposta

(a) Para a<s<b,
Bphi(s)=mu0 I2pi s
(b) O fluxo magnético é
Phi=mu0 I,l2piln!l(bar)
(c) A indutância por unidade de comprimento é
Ll=mu02piln!l(bar)

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