(M17.2E9) Se a forma de uma onda sonora que se propaga no ar é s(x, t)=(6,0 \mathrm{~nm}) \cos (\mathrm{kx}+(3.000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}+\varphi) quanto tempo uma molécula de ar no caminho da onda leva para se mover entre os deslocamentos s=+2,0 \mathrm{~nm} e s=-2,0 \mathrm{~nm} ? Resp.: 0.23 ms

Passo 1

O enunciado dá a onda sonora
s(x,t)=(6,0\text{ nm})\cos\bigl(kx+(3\,000\text{ rad/s})\,t+\varphi\bigr)
Para uma molécula fixa em x, o deslocamento é
s(t)=A\cos(\omega t+\delta)
com amplitude A=6,0\text{ nm} e frequência angular \omega=3\,000\text{ rad/s}. Queremos o tempo \Delta t para ir de s=+2,0\text{ nm} até s=-2,0\text{ nm}.

Passo 2

Definindo \theta=\omega t+\delta, os instantes em que s=+2,0\text{ nm} e s=-2,0\text{ nm} satisfazem
\cos\theta_{1}=\frac{2,0}{6,0}=\tfrac{1}{3},\quad \cos\theta_{2}=-\tfrac{1}{3}.
Logo
\theta_{1}=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr),\qquad \theta_{2}=\operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)=\pi-\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 3

O intervalo de fase é
\Delta\theta=\theta_{2}-\theta_{1} =\bigl(\pi-\operatorname{arccos}\tfrac{1}{3}\bigr)-\operatorname{arccos}\tfrac{1}{3} =\pi-2\operatorname{arccos}\tfrac{1}{3}.
Assim, o tempo é
\Delta t=\frac{\Delta\theta}{\omega} =\frac{\pi-2\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)}{3\,000} \approx2,27\times10^{-4}\text{ s}.

Resposta

\displaystyle \Delta t\approx0,23\text{ ms}.

Exercícios relacionados