(M17.6E53) Duas cordas de piano iguais têm uma frequência fundamental de 600 Hz quando são submetidas a uma mesma tração. Que aumento relativo da tração de uma das cordas faz com que haja 6,0 batimentos por segundo quando as duas cordas oscilam simultaneamente? Resp.: 0.020

Passo 1

O enunciado diz que duas cordas idênticas de piano, sob mesma tensão T, têm frequência fundamental f_0=600 Hz. Aumentamos a tensão de uma corda em \Delta T e, ao fazê-las oscilar juntas, surgem 6{,}0 batimentos por segundo. Queremos o aumento relativo \Delta T/T. O conteúdo é a relação entre frequência fundamental e tensão numa corda.

Passo 2

A frequência fundamental de uma corda é
f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde L é o comprimento e \mu a massa por unidade de comprimento. Se a tensão passa para T+\Delta T, a nova frequência é
f' = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T+\Delta T}{\mu}} = f_0\sqrt{\frac{T+\Delta T}{T}} = f_0\sqrt{1+\frac{\Delta T}{T}}.

Passo 3

O batimento tem frequência
\Delta f = \bigl|f'-f_0\bigr| = 6{,}0\text{ Hz}.
Logo,
\frac{f'}{f_0}-1 = \frac{\Delta f}{f_0} = \frac{6{,}0}{600} = 0{,}01.
Chamando \varepsilon = \Delta T/T, temos
\sqrt{1+\varepsilon} - 1 = 0{,}01.

Passo 4

Isolando \varepsilon:
\sqrt{1+\varepsilon} = 1{,}01 \quad\Longrightarrow\quad 1+\varepsilon = (1{,}01)^2 = 1{,}0201 \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = 0{,}0201\approx0{,}020.

Resposta

O aumento relativo da tensão é aproximadamente 0{,}020 (ou 2{,}0\%).

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