M65 Precipitagage Producino
1 80 28
2 100 3.7
3 120 39
4 140 4.0
5 160 4.3
6 180 4,7
7 200 6.0
8 220 5,3
50 m 3
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson ( r ) entre a precipitação e produção.
b) Interprete o valor encontrado quanto à direção, força e relevância ecológica.
c) Determine a equação da reta de regressáo linear simples.
d) Use o modelo para prever a produção quando a precipitação for 150 mm .

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson r entre a precipitação e a produção.
  • (b) Interpretar o valor encontrado quanto à direção, força e relevância ecológica.
  • (c) Determinar a equação da reta de regressão linear simples (previsão de produção a partir da precipitação).
  • (d) Usar o modelo para prever a produção quando a precipitação for 150 mm.
Peguei os dados da tabela/imagem fornecida. Os pares (precipitação em mm, produção — unidade implícita) extraídos são:
(80,\;2{,}8),\;(100,\;3{,}7),\;(120,\;3{,}9),\;(140,\;4{,}0),\;(160,\;4{,}3),\;(180,\;4{,}7),\;(200,\;6{,}0),\;(220,\;5{,}3).
Vou usar esses n=8 pares para todos os cálculos.

Passo 2

Explicação da fórmula do coeficiente de correlação de Pearson e definição das quantidades que vamos calcular:
  • O coeficiente de correlação de Pearson é
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}},
onde
S_{xx}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2,\quad S_{yy}=\sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2,\quad S_{xy}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y).
Aqui x_i é a precipitação do caso i, y_i é a produção do caso i, \bar x é a média das precipitações e \bar y é a média das produções.
Calcular as médias (mostro os somatórios):
\sum x_i = 80+100+120+140+160+180+200+220 = 1200,
\bar x=\frac{1200}{8}=150.
\sum y_i = 2{,}8+3{,}7+3{,}9+4{,}0+4{,}3+4{,}7+6{,}0+5{,}3 = 34{,}7,
\bar y=\frac{34{,}7}{8}=4{,}3375.

Passo 3

Calcular as somas dos quadrados e a soma cruzada. Primeiro as diferenças em relação às médias (apenas mostro os valores usados):
  • x_i-\bar x:\\\ -70,\\\ -50,\\\ -30,\\\ -10,\\\ 10,\\\ 30,\\\ 50,\\\ 70.
  • y_i-\bar y:\\\ -1{,}5375,\\\ -0{,}6375,\\\ -0{,}4375,\\\ -0{,}3375,\\\ -0{,}0375,\\\ 0{,}3625,\\\ 1{,}6625,\\\ 0{,}9625.
Agora os somatórios:
S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2 = 4900+2500+900+100+100+900+2500+4900 = 16800.
S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 107{,}625+31{,}875+13{,}125+3{,}375-0{,}375+10{,}875+83{,}125+67{,}375 = 317{,}0.
S_{yy}=\sum (y_i-\bar y)^2 = 2{,}36390625+0{,}40640625+0{,}19140625+0{,}11390625+0{,}00140625+0{,}13140625+2{,}76390625+0{,}92640625 \approx 6{,}89875.

Passo 4

Calcular r substituindo nas fórmulas:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} =\frac{317{,}0}{\sqrt{16800\cdot 6{,}89875}}.
Calculei numericamente:
16800\cdot 6{,}89875 = 115899, \qquad \sqrt{115899}\approx 340{,}439,
portanto
r\approx \frac{317{,}0}{340{,}439}\approx 0{,}9315.
Também é útil o coeficiente de determinação:
r^2\approx 0{,}9315^2\approx 0{,}8678\quad(\text{ou }86{,}78\%).

Passo 5

Interpretação didática do r e de r^2:
  • Direção: r é positivo ( r\approx 0{,}9315), logo a relação entre precipitação e produção é direta — quando a precipitação aumenta, em geral a produção também aumenta.
  • Força: valores de r próximos de 1 indicam correlação forte. Com r\approx 0{,}93 temos uma correlação muito forte/forte entre as duas variáveis.
  • Relevância ecológica (como interpretar ecologicamente): r^2\approx 0{,}8678 indica que aproximadamente 86{,}8\% da variação observada na produção, nesta amostra, é explicada linearmente pela variação na precipitação — ou seja, a precipitação parece ser um preditor importante da produção neste conjunto de dados. Atenção às limitações: amostra pequena ( n=8), possível presença de pontos influentes (por exemplo o ponto 200,6{,}0 parece mais alto), e correlação não prova causalidade — outras variáveis ecológicas (solo, manejo, temperatura) também podem influenciar. Em prova, vale mencionar essas ressalvas: forte correlação e alta relevância estatística na amostra, mas interpretar com cautela quanto à causalidade e representatividade.

Passo 6

Determinar a equação da reta de regressão linear simples \hat y = a + b x, onde
b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a=\bar y - b\bar x.
Calcular a inclinação:
b=\frac{317{,}0}{16800}\approx 0{,}018869.
Calcular o intercepto:
a=\bar y - b\bar x = 4{,}3375 - 0{,}018869\cdot 150 \approx 4{,}3375 - 2{,}830357 \approx 1{,}507143.
Portanto a reta de regressão (com arredondamento prático) é
\hat y \approx 1{,}50714 + 0{,}018869\,x.
Explicação rápida: b indica o aumento médio da produção por aumento de 1 mm de precipitação; a é o valor previsto de produção quando x=0 (aqui serve como ajustamento matemático, frequentemente sem interpretação física direta se x=0 estiver fora da faixa observada).

Passo 7

Previsão para x=150 mm de precipitação:
\hat y(150)=1{,}507143 + 0{,}018869\cdot 150.
Cálculo:
0{,}018869\cdot 150 = 2{,}830357,
\hat y(150)=1{,}507143+2{,}830357=4{,}3375.
Observação didática: a previsão em x=\bar x sempre retorna \bar y, por construção da reta de mínimos quadrados. Assim a produção prevista para 150 mm é \hat y=4{,}3375 (mesma que a média amostral).

Resposta

a) r\approx 0{,}9315.\n
b) Correlação positiva e muito forte; r^2\approx 0{,}8678 (aprox. 86{,}8\% da variação da produção explicada pela precipitação nesta amostra). Relevância ecológica: precipitação é um preditor importante neste conjunto de dados, mas atenção à amostra pequena e à possibilidade de variáveis de confusão; correlação não implica causalidade.\n
c) \hat y \approx 1{,}50714 + 0{,}018869\,x.\n
d) Previsão para x=150 mm: \hat y(150)=4{,}3375.

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