(1 ponto) Suponha que, na hora do almoço, a probabilidade de uma pessoa ficar menos de uma hora aguardando na fila do Restaurante Universitário é de 0.44 . Se um cliente vai ao restaurante em 96 dias, qual a variância do número de dias em que o cliente é atendido em menos de uma hora (considere que o tempo de espera em um dia seja independente dos demais)?
a. 21.12
b. 23.65
c. 18.59
d. 0.44
e. 4.86

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A probabilidade de um cliente ser atendido em menos de uma hora em um dia é \,p=0,44.
  • O cliente vai ao restaurante em \,n=96 dias.
  • Os tempos de espera em dias diferentes são independentes.
    O problema pede para calcular a variância do número de dias, entre os \,96 dias, em que o cliente é atendido em menos de uma hora.

Passo 2

Modelagem probabilística: cada dia pode ser visto como um ensaio de Bernoulli — “sucesso” = ser atendido em menos de uma hora (ocorre com probabilidade \,p) e “falha” = não ser atendido em menos de uma hora. Como os dias são independentes e temos \,n ensaios idênticos, o número total de sucessos X segue uma distribuição binomial com parâmetros \,n e \,p. Escrevemos isso como \,X\sim\text{Binomial}(n,p).

Passo 3

Fórmula da variância para a binomial: se X\sim\text{Binomial}(n,p) então
\operatorname{Var}(X)=n\,p\,(1-p).
Explicação: cada ensaio é uma variável de Bernoulli com variância \,p(1-p). Como os ensaios são independentes, a variância do somatório é a soma das variâncias, logo \operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}p(1-p)=n\,p(1-p).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números do enunciado: primeiro calculo \,n\cdot p:
n\cdot p = 96\cdot 0,44 = 42,24.
Agora uso \operatorname{Var}(X)=n\,p\,(1-p). Como \,1-p=1-0,44=0,56, temos
\operatorname{Var}(X)=42,24\cdot 0,56.
Faço a multiplicação passo a passo:
42,24\cdot 0,56=\frac{42,24\cdot 56}{100}=\frac{42,24\cdot(50+6)}{100}=\frac{2112+253,44}{100}=\frac{2365,44}{100}=23,6544.

Passo 5

Resultado: a variância exata é \,23,6544. Arredondando para duas casas decimais, obtemos \,23,65, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

b. 23,65

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