(2 pontos) Uma secretaria de meio ambiente registrou o número de focos de queimadas em seis diferentes biomas brasileiros durante a estação seca:
Bioma Focos Registrados E O-E (O-E)^{2} (O-E)^{2} / E
Amazónia 125
Cerrado 98
Mata Atlantica 45
Caatinga 67
Pantanal 32
Pampa 28
\Sigma
Deseja-se testar a hipótese de que os focos de queimadas são igualmente distribuidos entre os biomas. Use nivel de significância de 5 \%.

Passo 1

O enunciado dá os números de focos observados em seis biomas e pede testar, ao nível de significância de 5\%, se os focos estão igualmente distribuídos entre os biomas. Os dados fornecidos são (peguei estes números do enunciado):
  • Biomas e focos observados O_i:
    • Amazónia: O_1 = 125
    • Cerrado: O_2 = 98
    • Mata Atlântica: O_3 = 45
    • Caatinga: O_4 = 67
    • Pantanal: O_5 = 32
    • Pampa: O_6 = 28
O que se pede explicitamente: aplicar um teste para verificar se a distribuição dos focos é uniforme entre os 6 biomas (ou seja, se a mesma proporção verdadeira vale para todos). O nível de significância é \alpha = 0{,}05.

Passo 2

Primeiro calculemos o total de focos e a expectativa sob a hipótese de distribuição igual entre os biomas.
Somando os observados:
\text{Total} = 125 + 98 + 45 + 67 + 32 + 28 = 395.
Se a distribuição for igual entre k=6 biomas, a frequência esperada em cada bioma é
E = \frac{\text{Total}}{k} = \frac{395}{6}.
Vou deixar essa fração explícita para facilitar contas exatas: E = \dfrac{395}{6} \approx 65{,}833\ldots.

Passo 3

Agora explico o teste e a fórmula que usaremos (aula rápida, bem prática).
  • Teste: qui-quadrado de aderência (goodness-of-fit) para frequências discretas.
  • Ideia: comparar observados O_i com esperados E_i. Se as diferenças forem grandes, rejeita-se a hipótese de igualdade.
  • Estatística de teste:
\chi^{2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^{2}}{E_i}.
Aqui k é o número de categorias (aqui k=6). Cada termo \dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i} mede a contribuição daquela categoria para o desvio total, escalada pela expectativa (assim categorias com E maiores não dominam injustamente).
  • Grau de liberdade: quando os E_i são conhecidos pela hipótese (distribuição uniforme), o número de graus de liberdade é k-1. Então \nu = 6-1=5.
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 (distribuição igual) se \chi^2 calculado for maior que o valor crítico \chi^2_{1-\alpha,\nu}. Para \alpha=0{,}05 e \nu=5, o valor crítico é \chi^2_{0{,}95,5}=11{,}07 (tabela de qui-quadrado).

Passo 4

Vamos calcular, categoria a categoria, usando a forma fracionária para ficar exato sem depender de calculadora demais. Lembre que E=\dfrac{395}{6}.
Para facilitar, observe que
\frac{(O-E)^2}{E}=\frac{\big(O-\dfrac{395}{6}\big)^2}{\dfrac{395}{6}} =\frac{(6O-395)^2}{36}\cdot\frac{6}{395}=\frac{(6O-395)^2}{6\cdot395}=\frac{(6O-395)^2}{2370}.
Vou usar essa última expressão para calcular cada termo exato como racional e então dar decimal aproximado.
  1. Amazónia: O=125.
6O-395 = 6\cdot125-395 = 750-395=355.
\text{termo}_1=\frac{355^2}{2370}=\frac{126025}{2370}\approx 53{,}175316.
  1. Cerrado: O=98.
6O-395 = 588-395=193.
\text{termo}_2=\frac{193^2}{2370}=\frac{37249}{2370}\approx 15{,}717304.
  1. Mata Atlântica: O=45.
6O-395 = 270-395=-125.
\text{termo}_3=\frac{125^2}{2370}=\frac{15625}{2370}\approx 6{,}593670.
  1. Caatinga: O=67.
6O-395 = 402-395=7.
\text{termo}_4=\frac{7^2}{2370}=\frac{49}{2370}\approx 0{,}020674.
  1. Pantanal: O=32.
6O-395 = 192-395=-203.
\text{termo}_5=\frac{203^2}{2370}=\frac{41209}{2370}\approx 17{,}387760.
  1. Pampa: O=28.
6O-395 = 168-395=-227.
\text{termo}_6=\frac{227^2}{2370}=\frac{51529}{2370}\approx 21{,}742189.
Observação: em cada termo os sinais negativos foram eliminados pelo quadrado, por isso aparecem apenas números positivos.

Passo 5

Somando todas as contribuições obtemos a estatística \chi^2:
\chi^2 \approx 53{,}175316 + 15{,}717304 + 6{,}593670 + 0{,}020674 + 17{,}387760 + 21{,}742189 = 114{,}636913.
Arredondando sensatamente:
\chi^2 \approx 114{,}64.

Passo 6

Agora a decisão do teste:
  • Graus de liberdade: \nu=5.
  • Valor crítico para \alpha=0{,}05: \chi^2_{0{,}95,5}=11{,}07 (tabela).
  • Comparação: \chi^2_{\text{calc}} \approx 114{,}64 é muito maior que 11{,}07.
Portanto a evidência contra H_0 é forte; rejeitamos a hipótese de que os focos estejam igualmente distribuídos entre os biomas. Em termos práticos: a frequência de focos varia significativamente entre os biomas (Amazónia, por exemplo, tem muito mais focos que o esperado sob uniformidade).

Passo 7

Interpretação e dica para a prova (rapidinho e prático):
  • Sempre calcule primeiro o total e E=\dfrac{\text{total}}{k} quando for hipótese de igualdade entre categorias.
  • Use a fórmula \chi^2=\sum (O-E)^2/E e graus de liberdade k-1.
  • Compare com a tabela: se \chi^2 calculado > crítico, rejeita-se H_0.
  • Aqui o resultado é tão grande que a conclusão é clara sem precisar de p-valor exato (p é praticamente zero).
  • Forneça no enunciado a conclusão e o valor de \chi^2 arredondado — isso costuma bastar na prova.

Resposta

Rejeita-se H_0: os focos não estão igualmente distribuídos entre os biomas ( \chi^2 \approx 114{,}64 > \chi^2_{0{,}95,5}=11{,}07).

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