(2 pontos) Uma secretaria de meio ambiente registrou o número de focos de queimadas em seis diferentes biomas brasileiros durante a estação seca:
Bioma
Focos Registrados
E
O-E
Amazónia
125
Cerrado
98
Mata Atlantica
45
Caatinga
67
Pantanal
32
Pampa
28
Deseja-se testar a hipótese de que os focos de queimadas são igualmente distribuidos entre os biomas. Use nivel de significância de
.
| Bioma | Focos Registrados | E | O-E |
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| Amazónia | 125 | ||||
| Cerrado | 98 | ||||
| Mata Atlantica | 45 | ||||
| Caatinga | 67 | ||||
| Pantanal | 32 | ||||
| Pampa | 28 | ||||
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Passo 1
O enunciado dá os números de focos observados em seis biomas e pede testar, ao nível de significância de
, se os focos estão igualmente distribuídos entre os biomas. Os dados fornecidos são (peguei estes números do enunciado):
- Biomas e focos observados
: - Amazónia:
- Cerrado:
- Mata Atlântica:
- Caatinga:
- Pantanal:
- Pampa:
- Amazónia:
O que se pede explicitamente: aplicar um teste para verificar se a distribuição dos focos é uniforme entre os 6 biomas (ou seja, se a mesma proporção verdadeira vale para todos). O nível de significância é
.
Passo 2
Primeiro calculemos o total de focos e a expectativa sob a hipótese de distribuição igual entre os biomas.
Somando os observados:
Se a distribuição for igual entre
biomas, a frequência esperada em cada bioma é
Vou deixar essa fração explícita para facilitar contas exatas:
.
Passo 3
Agora explico o teste e a fórmula que usaremos (aula rápida, bem prática).
- Teste: qui-quadrado de aderência (goodness-of-fit) para frequências discretas.
- Ideia: comparar observados
com esperados . Se as diferenças forem grandes, rejeita-se a hipótese de igualdade. - Estatística de teste:
Aqui
é o número de categorias (aqui
). Cada termo
mede a contribuição daquela categoria para o desvio total, escalada pela expectativa (assim categorias com E maiores não dominam injustamente).
- Grau de liberdade: quando os
são conhecidos pela hipótese (distribuição uniforme), o número de graus de liberdade é . Então . - Regra de decisão: rejeitar
(distribuição igual) se calculado for maior que o valor crítico . Para e , o valor crítico é (tabela de qui-quadrado).
Passo 4
Vamos calcular, categoria a categoria, usando a forma fracionária para ficar exato sem depender de calculadora demais. Lembre que
.
Para facilitar, observe que
Vou usar essa última expressão para calcular cada termo exato como racional e então dar decimal aproximado.
- Amazónia:
.
- Cerrado:
.
- Mata Atlântica:
.
- Caatinga:
.
- Pantanal:
.
- Pampa:
.
Observação: em cada termo os sinais negativos foram eliminados pelo quadrado, por isso aparecem apenas números positivos.
Passo 5
Somando todas as contribuições obtemos a estatística
:
Arredondando sensatamente:
Passo 6
Agora a decisão do teste:
- Graus de liberdade:
. - Valor crítico para
: (tabela). - Comparação:
é muito maior que .
Portanto a evidência contra
é forte; rejeitamos a hipótese de que os focos estejam igualmente distribuídos entre os biomas. Em termos práticos: a frequência de focos varia significativamente entre os biomas (Amazónia, por exemplo, tem muito mais focos que o esperado sob uniformidade).
Passo 7
Interpretação e dica para a prova (rapidinho e prático):
- Sempre calcule primeiro o total e
quando for hipótese de igualdade entre categorias. - Use a fórmula
e graus de liberdade . - Compare com a tabela: se
calculado > crítico, rejeita-se . - Aqui o resultado é tão grande que a conclusão é clara sem precisar de p-valor exato (p é praticamente zero).
- Forneça no enunciado a conclusão e o valor de
arredondado — isso costuma bastar na prova.
Resposta
Rejeita-se
: os focos não estão igualmente distribuídos entre os biomas (
).