(1 ponto) Em um pomar, as maçãs colhidas são distribuídas aleatoriamente em pacotes, cada um contendo 6 frutos. O pomar teve um total de 24 maçãs recolhidas, e 7 frutos foram considerados de ótima qualidade. Seja
o número de maçãs ótimas alocadas ao primeiro pacote, qual das distribuições de probabilidade seria adequada para descrever a variável aleatória
?
a. Geométrica(3/24)
b. Hipergeometrica(
)
c. Binomial(6, 3/24)
d. Geométrica(6/24)
e. Poisson(3)
a. Geométrica(3/24)
b. Hipergeometrica(
c. Binomial(6, 3/24)
d. Geométrica(6/24)
e. Poisson(3)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- Total de maçãs no pomar:
. - Número de maçãs de ótima qualidade:
. - As maçãs são distribuídas aleatoriamente em pacotes com
frutos cada. - Define-se
como o número de maçãs ótimas alocadas ao primeiro pacote.
O problema pede para identificar, entre as alternativas fornecidas, qual distribuição de probabilidade descreve adequadamente a variável aleatória
.
Passo 2
Vamos entender o que
representa:
conta quantas maçãs ótimas aparecem quando se pega um pacote de
maçãs retiradas da população total de
maçãs, das quais
são ótimas. É importante notar que, ao formar um pacote com
frutas a partir das
, uma maçã escolhida não volta para a população — ou seja, a escolha é feita sem reposição (sem substituição). Essa característica (amostragem sem reposição) é crucial para decidir qual distribuição usar.
Passo 3
Agora, uma revisão rápida das distribuições candidatas, para entender suas hipóteses e parâmetros:
- Hipergeométrica: quando se extrai
itens de uma população finita de tamanho que contém sucessos, sem reposição, a variável que conta o número de sucessos na amostra segue a distribuição hipergeométrica com parâmetros . A função de massa é
onde
varia entre
e
. Aqui:
= tamanho da população,
= número de sucessos na população,
= tamanho da amostra.
- Binomial
: quando há ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso, então o número de sucessos é binomial. Isso modela amostragem com reposição ou situações com independência entre ensaios. A massa é
-
Geométrica: conta o número de ensaios até o primeiro sucesso (ou o número de falhas antes do primeiro sucesso, dependendo da parametrização). Não é adequada quando se quer o número de sucessos em um lote fixo.
-
Poisson(
): conta o número de eventos raros em um intervalo contínuo. Também é usada como aproximação da binomial quando é grande e é pequeno, com . Não é apropriada diretamente para amostragem sem reposição de uma população pequena.
Passo 4
Aplicando as hipóteses ao problema:
- A população é finita:
. - Há
maçãs “ótimas” (sucessos) na população. - A amostra (o primeiro pacote) tem tamanho
. - A amostragem é sem reposição (não se recoloca a mesma maçã), logo os ensaios não são independentes — isso elimina a binomial como modelo exato.
Portanto, as hipóteses da distribuição hipergeométrica se encaixam exatamente: número de sucessos em uma amostra de tamanho
retirada sem reposição de uma população com
sucessos entre
itens.
Observações rápidas para eliminar as outras alternativas:
- Alternativas com “Geométrica” (a e d) não fazem sentido porque não estamos contando quantos ensaios até o primeiro sucesso.
- Alternativa (c) propõe uma binomial com parâmetro
; mesmo que houvesse tentativa de modelar por binomial usando , isso seria um ajuste por aproximação (e o indicado está errado). Além disso, por ser população pequena e sem reposição, a binomial não é o modelo exato. - Alternativa (e) Poisson(
) também não bate: o valor médio esperado aqui (pela hipergeométrica ou pela binomial aproximada) seria , não . Logo Poisson( ) é incompatível.
Passo 5
Conclusão direta: o modelo exato e adequado é a distribuição hipergeométrica com parâmetros
,
e
. Isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
b. Hipergeométrica