(1 ponto) Em um pomar, as maçãs colhidas são distribuídas aleatoriamente em pacotes, cada um contendo 6 frutos. O pomar teve um total de 24 maçãs recolhidas, e 7 frutos foram considerados de ótima qualidade. Seja X o número de maçãs ótimas alocadas ao primeiro pacote, qual das distribuições de probabilidade seria adequada para descrever a variável aleatória X ?
a. Geométrica(3/24)
b. Hipergeometrica( 24,7,6 )
c. Binomial(6, 3/24)
d. Geométrica(6/24)
e. Poisson(3)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Total de maçãs no pomar: 24.
  • Número de maçãs de ótima qualidade: 7.
  • As maçãs são distribuídas aleatoriamente em pacotes com 6 frutos cada.
  • Define-se X como o número de maçãs ótimas alocadas ao primeiro pacote.
O problema pede para identificar, entre as alternativas fornecidas, qual distribuição de probabilidade descreve adequadamente a variável aleatória X.

Passo 2

Vamos entender o que X representa: X conta quantas maçãs ótimas aparecem quando se pega um pacote de 6 maçãs retiradas da população total de 24 maçãs, das quais 7 são ótimas. É importante notar que, ao formar um pacote com 6 frutas a partir das 24, uma maçã escolhida não volta para a população — ou seja, a escolha é feita sem reposição (sem substituição). Essa característica (amostragem sem reposição) é crucial para decidir qual distribuição usar.

Passo 3

Agora, uma revisão rápida das distribuições candidatas, para entender suas hipóteses e parâmetros:
  • Hipergeométrica: quando se extrai n itens de uma população finita de tamanho N que contém K sucessos, sem reposição, a variável que conta o número de sucessos na amostra segue a distribuição hipergeométrica com parâmetros N,K,n. A função de massa é
\Pr(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
onde k varia entre \max(0,n-(N-K)) e \min(n,K). Aqui: N = tamanho da população, K = número de sucessos na população, n = tamanho da amostra.
  • Binomial \mathrm{Bin}(n,p): quando há n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de sucesso, então o número de sucessos é binomial. Isso modela amostragem com reposição ou situações com independência entre ensaios. A massa é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}.
  • Geométrica: conta o número de ensaios até o primeiro sucesso (ou o número de falhas antes do primeiro sucesso, dependendo da parametrização). Não é adequada quando se quer o número de sucessos em um lote fixo.
  • Poisson( \lambda): conta o número de eventos raros em um intervalo contínuo. Também é usada como aproximação da binomial quando n é grande e p é pequeno, com \lambda=np. Não é apropriada diretamente para amostragem sem reposição de uma população pequena.

Passo 4

Aplicando as hipóteses ao problema:
  • A população é finita: N=24.
  • K=7 maçãs “ótimas” (sucessos) na população.
  • A amostra (o primeiro pacote) tem tamanho n=6.
  • A amostragem é sem reposição (não se recoloca a mesma maçã), logo os ensaios não são independentes — isso elimina a binomial como modelo exato.
Portanto, as hipóteses da distribuição hipergeométrica se encaixam exatamente: número de sucessos em uma amostra de tamanho n retirada sem reposição de uma população com K sucessos entre N itens.
Observações rápidas para eliminar as outras alternativas:
  • Alternativas com “Geométrica” (a e d) não fazem sentido porque não estamos contando quantos ensaios até o primeiro sucesso.
  • Alternativa (c) propõe uma binomial com parâmetro p=3/24; mesmo que houvesse tentativa de modelar por binomial usando p=7/24, isso seria um ajuste por aproximação (e o p indicado está errado). Além disso, por ser população pequena e sem reposição, a binomial não é o modelo exato.
  • Alternativa (e) Poisson( 3) também não bate: o valor médio esperado aqui (pela hipergeométrica ou pela binomial aproximada) seria E(X)=n\frac{K}{N}=6\cdot\frac{7}{24}=\frac{42}{24}=\frac{7}{4}=1{,}75, não 3. Logo Poisson( 3) é incompatível.

Passo 5

Conclusão direta: o modelo exato e adequado é a distribuição hipergeométrica com parâmetros N=24, K=7 e n=6. Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

b. Hipergeométrica \,(24,7,6)

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