Um macaco foge do zoológico e sobe em uma árvore. Após não conseguir convencê-lo a descer, o tratador dispara um dardo tranquilizante diretamente na direção do macaco. No instante em que o dardo é disparado, o macaco solta-se do galho. O dardo:
a) Não atinge o macaco no ar por 3 cm .
b) Sempre atingirá o macaco no ar.
c) Não atinge o macaco no ar por 1 cm .
d) Não atinge o macaco no ar por 2 cm .
a) Não atinge o macaco no ar por 3 cm .
b) Sempre atingirá o macaco no ar.
c) Não atinge o macaco no ar por 1 cm .
d) Não atinge o macaco no ar por 2 cm .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
- Dados do enunciado:
- Há um macaco pendurado num galho; no instante em que o dardo é disparado, o macaco solta-se do galho.
- O tratador aponta o dardo diretamente na direção do macaco no momento do disparo (ou seja, a linha de mira passa exatamente pelo macaco naquele instante).
- Não é dito nada sobre resistência do ar nem outras forças além da gravidade.
- O que a questão pergunta:
- Entre as alternativas, identificar qual é a correta:
- a) Não atinge o macaco no ar por 3 cm.
- b) Sempre atingirá o macaco no ar.
- c) Não atinge o macaco no ar por 1 cm.
- d) Não atinge o macaco no ar por 2 cm.
- Entre as alternativas, identificar qual é a correta:
Passo 2
Escolher variáveis e sistema de referência (isso é importante para montar as equações).
- Coloco a origem no ponto de onde o dardo é disparado.
- Chamo de
a distância horizontal entre o disparador e a vertical do galho (ou seja, a projeção horizontal da posição inicial do macaco). - Chamo de
a altura vertical do macaco acima do nível do disparador (ou seja, a coordenada vertical inicial do macaco). - Seja
a velocidade inicial do dardo e o ângulo de lançamento em relação à horizontal. Como o trato apontou diretamente para o macaco no instante do disparo, a direção do vetor velocidade inicial do dardo passa por ; ou seja,
Passo 3
Escrever as equações do movimento do dardo (projetil), supondo que a única aceleração vertical é a gravidade
(para baixo).
- As componentes da velocidade inicial são
- As coordenadas do dardo no tempo
são
Vou explicar rápido: a equação para
vem do movimento uniforme horizontal (não há aceleração horizontal), e a para
vem do movimento uniformemente acelerado vertical com aceleração
.
Passo 4
Escrever as equações do movimento do macaco após soltar-se do galho.
- No instante
o macaco está em . - Como o macaco é solto sem velocidade vertical inicial (assumimos que solta-se sem impulso vertical), sua coordenada horizontal permanece
(ele cai verticalmente) e a vertical é - Explicação: o macaco sofre apenas a aceleração da gravidade, então sua posição vertical decai segundo a conhecida fórmula do movimento uniformemente acelerado.
Passo 5
Achar o instante em que o dardo atravessa a vertical onde estava o macaco (isto é, quando
).
- Usando
, imponho : - Observação: esse tempo é simplesmente o tempo que o projétil leva para percorrer a distância horizontal até a árvore.
Passo 6
Calcular a altura do dardo nesse instante e comparar com a altura do macaco no mesmo instante.
- Substituo o tempo obtido em
: - Simplifico o primeiro termo:
. - Mas lembrando que o ângulo foi escolhido para mirar no macaco inicialmente, temos
. Logo - Assim o primeiro termo vira
, e então - Compare com a altura do macaco no mesmo tempo
, que é - Conclusão matemática: os dois são idênticos,
Portanto, no instante em que o dardo alcança a vertical do macaco, ele tem exatamente a mesma altura do macaco — isto é, o dardo atinge o macaco.
Passo 7
Interpretação física e condições/assunções (explicação intuitiva, sem pular etapas).
- Intuição simples: ao mirar diretamente no macaco, o dardo tem exatamente a mesma componente vertical inicial que a reta que liga o disparador ao macaco. Ambos (dardo e macaco) sofrem a mesma aceleração vertical
. Assim, independentemente de quanto eles caem em função do tempo, a diferença vertical entre eles permanece a mesma que no instante inicial — e como essa diferença inicial é zero (o dardo foi apontado para o macaco), ela segue sendo zero até o instante em que o dardo cruza a vertical do macaco. - Condições para que a conclusão valha:
- Desprezamos resistência do ar e quaisquer forças horizontais adicionais.
- O dardo precisa ter velocidade suficiente para alcançar a árvore antes de atingir o solo; se o dardo tocasse o chão antes de cruzar a vertical do macaco, a situação seria diferente, mas isso não invalida a relação acima enquanto o dardo estiver em voo.
- Em problemas de prova e raciocínios típicos, pressupõe-se as condições ideais (sem ar) e que o dardo alcança a árvore, então a conclusão é que o macaco é atingido.
Passo 8
Resposta direta e motivação final em tom amigável.
- Portanto, sob as hipóteses usuais do problema (apontar direto para o macaco, gravidade igual para ambos, sem resistência do ar), o dardo atinge o macaco no ar. É uma daquelas surpresas legais de física: o efeito da gravidade “cancela” o erro aparente de mirar direto no objeto que cai.
Resposta
b) Sempre atingirá o macaco no ar.