Um macaco foge do zoológico e sobe em uma árvore. Após não conseguir convencê-lo a descer, o tratador dispara um dardo tranquilizante diretamente na direção do macaco. No instante em que o dardo é disparado, o macaco solta-se do galho. O dardo:
a) Não atinge o macaco no ar por 3 cm .
b) Sempre atingirá o macaco no ar.
c) Não atinge o macaco no ar por 1 cm .
d) Não atinge o macaco no ar por 2 cm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
  • Dados do enunciado:
    • Há um macaco pendurado num galho; no instante em que o dardo é disparado, o macaco solta-se do galho.
    • O tratador aponta o dardo diretamente na direção do macaco no momento do disparo (ou seja, a linha de mira passa exatamente pelo macaco naquele instante).
    • Não é dito nada sobre resistência do ar nem outras forças além da gravidade.
  • O que a questão pergunta:
    • Entre as alternativas, identificar qual é a correta:
      • a) Não atinge o macaco no ar por 3 cm.
      • b) Sempre atingirá o macaco no ar.
      • c) Não atinge o macaco no ar por 1 cm.
      • d) Não atinge o macaco no ar por 2 cm.

Passo 2

Escolher variáveis e sistema de referência (isso é importante para montar as equações).
  • Coloco a origem no ponto de onde o dardo é disparado.
  • Chamo de \,D\, a distância horizontal entre o disparador e a vertical do galho (ou seja, a projeção horizontal da posição inicial do macaco).
  • Chamo de \,H\, a altura vertical do macaco acima do nível do disparador (ou seja, a coordenada vertical inicial do macaco).
  • Seja \,v_0\, a velocidade inicial do dardo e \,\theta\, o ângulo de lançamento em relação à horizontal. Como o trato apontou diretamente para o macaco no instante do disparo, a direção do vetor velocidade inicial do dardo passa por (D,H); ou seja, \tan\theta=\frac{H}{D}.

Passo 3

Escrever as equações do movimento do dardo (projetil), supondo que a única aceleração vertical é a gravidade \,g\, (para baixo).
  • As componentes da velocidade inicial são v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.
  • As coordenadas do dardo no tempo \,t\, são x_d(t)=v_{0x}\,t=v_0\cos\theta\;t,
y_d(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}gt^2=v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^2.
Vou explicar rápido: a equação para x_d(t) vem do movimento uniforme horizontal (não há aceleração horizontal), e a para y_d(t) vem do movimento uniformemente acelerado vertical com aceleração -g.

Passo 4

Escrever as equações do movimento do macaco após soltar-se do galho.
  • No instante t=0 o macaco está em (x_m(0),y_m(0))=(D,H).
  • Como o macaco é solto sem velocidade vertical inicial (assumimos que solta-se sem impulso vertical), sua coordenada horizontal permanece x_m(t)=D (ele cai verticalmente) e a vertical é y_m(t)=H-\tfrac{1}{2}gt^2.
  • Explicação: o macaco sofre apenas a aceleração da gravidade, então sua posição vertical decai segundo a conhecida fórmula do movimento uniformemente acelerado.

Passo 5

Achar o instante em que o dardo atravessa a vertical onde estava o macaco (isto é, quando x_d(t)=D).
  • Usando x_d(t)=v_0\cos\theta\;t, imponho x_d(t)=D: D=v_0\cos\theta\;t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{D}{v_0\cos\theta}.
  • Observação: esse tempo é simplesmente o tempo que o projétil leva para percorrer a distância horizontal até a árvore.

Passo 6

Calcular a altura do dardo nesse instante e comparar com a altura do macaco no mesmo instante.
  • Substituo o tempo obtido em y_d(t): y_d\!\left(\frac{D}{v_0\cos\theta}\right) =v_0\sin\theta\cdot\frac{D}{v_0\cos\theta}-\tfrac{1}{2}g\left(\frac{D}{v_0\cos\theta}\right)^2.
  • Simplifico o primeiro termo: \displaystyle v_0\sin\theta\cdot\frac{D}{v_0\cos\theta}=\frac{D\sin\theta}{\cos\theta}=D\tan\theta.
  • Mas lembrando que o ângulo foi escolhido para mirar no macaco inicialmente, temos \tan\theta=\dfrac{H}{D}. Logo D\tan\theta = D\cdot\frac{H}{D}=H.
  • Assim o primeiro termo vira H, e então y_d\!\left(\frac{D}{v_0\cos\theta}\right)=H-\tfrac{1}{2}g\left(\frac{D}{v_0\cos\theta}\right)^2.
  • Compare com a altura do macaco no mesmo tempo t=\dfrac{D}{v_0\cos\theta}, que é y_m\!\left(\frac{D}{v_0\cos\theta}\right)=H-\tfrac{1}{2}g\left(\frac{D}{v_0\cos\theta}\right)^2.
  • Conclusão matemática: os dois são idênticos, y_d\!\left(\frac{D}{v_0\cos\theta}\right)=y_m\!\left(\frac{D}{v_0\cos\theta}\right).Portanto, no instante em que o dardo alcança a vertical do macaco, ele tem exatamente a mesma altura do macaco — isto é, o dardo atinge o macaco.

Passo 7

Interpretação física e condições/assunções (explicação intuitiva, sem pular etapas).
  • Intuição simples: ao mirar diretamente no macaco, o dardo tem exatamente a mesma componente vertical inicial que a reta que liga o disparador ao macaco. Ambos (dardo e macaco) sofrem a mesma aceleração vertical -g. Assim, independentemente de quanto eles caem em função do tempo, a diferença vertical entre eles permanece a mesma que no instante inicial — e como essa diferença inicial é zero (o dardo foi apontado para o macaco), ela segue sendo zero até o instante em que o dardo cruza a vertical do macaco.
  • Condições para que a conclusão valha:
    • Desprezamos resistência do ar e quaisquer forças horizontais adicionais.
    • O dardo precisa ter velocidade suficiente para alcançar a árvore antes de atingir o solo; se o dardo tocasse o chão antes de cruzar a vertical do macaco, a situação seria diferente, mas isso não invalida a relação acima enquanto o dardo estiver em voo.
  • Em problemas de prova e raciocínios típicos, pressupõe-se as condições ideais (sem ar) e que o dardo alcança a árvore, então a conclusão é que o macaco é atingido.

Passo 8

Resposta direta e motivação final em tom amigável.
  • Portanto, sob as hipóteses usuais do problema (apontar direto para o macaco, gravidade igual para ambos, sem resistência do ar), o dardo atinge o macaco no ar. É uma daquelas surpresas legais de física: o efeito da gravidade “cancela” o erro aparente de mirar direto no objeto que cai.

Resposta

b) Sempre atingirá o macaco no ar.

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