Uma partícula com carga
está sobre o eixo
na posição -2 cm ; outra partícula, com carga
está sobre o eixo x na posição 9 cm . Determine os pontos sobre o eixo x, além do infinito, em que o potencial elétrico é nulo.
Passo 1
O enunciado dá duas cargas puntuais sobre o eixo
e pede os pontos sobre o eixo
, além do infinito, onde o potencial elétrico total é nulo.
Informações fornecidas:
- Carga 1:
localizada em . - Carga 2:
localizada em .
Pergunta a responder:
- Determinar os valores de
no eixo tais que o potencial elétrico total seja zero (exceto ).
Passo 2
Recordando a fórmula do potencial de uma carga pontual e a superposição:
- O potencial devido a uma carga pontual
num ponto a uma distância é , onde é a constante eletrostática e é a distância (sempre positiva). - Como potencial é escalar, o potencial total de duas cargas é a soma:
.
Queremos os
tais que
. Como
, podemos dividir por
e trabalhar com
Vou trabalhar com as posições em centímetros; as unidades de carga (
) e
se cancelam na equação final.
Passo 3
Substituindo os dados (
,
;
,
) obtemos
ou, simplificando os sinais,
Passando um termo para o outro,
Isolando a razão das distâncias:
Passo 4
Como há valores absolutos, é necessário analisar as três regiões naturais no eixo
definidas pelas posições das cargas:
- Região A:
(à esquerda de ambas as cargas). - Região B:
(entre as cargas). - Região C:
(à direita de ambas as cargas).
Vou resolver em cada região, removendo os valores absolutos de acordo com o sinal de cada expressão.
Passo 5
Região A:
.
Aqui e
, então
e
.
A equação fica
Aqui
A equação
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Como
não satisfaz
, essa solução é inválida para a região A e portanto é descartada aqui (pode aparecer válidamente em outra região).
Passo 6
Região B:
.
Aqui e
, então
e
.
A equação fica
Aqui
A equação fica
Multiplicando por
:
Isolando
:
Calculando decimal,
, que está no intervalo
. Portanto
é uma solução válida.
Passo 7
Região C:
.
Aqui e
, então
e
.
A equação fica
Aqui
A equação fica
Multiplicando por
:
Isolando
:
Temos
, que satisfaz
. Portanto
é uma solução válida.
Passo 8
Verificações rápidas (numéricas) para ficar tranquilo:
- Para
: distâncias e .
Potenciais (proporcionais a): e ; soma zero. - Para
: distâncias e .
Potenciais:e ; soma zero.
Observação: pontos exatamente nas posições das cargas não são soluções (potencial singular infinito). O enunciado já excluiu
.