Uma partícula com carga -13 \mu \mathrm{C} está sobre o eixo \times na posição -2 cm ; outra partícula, com carga 7 \mu \mathrm{C} está sobre o eixo x na posição 9 cm . Determine os pontos sobre o eixo x, além do infinito, em que o potencial elétrico é nulo.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntuais sobre o eixo x e pede os pontos sobre o eixo x, além do infinito, onde o potencial elétrico total é nulo.
Informações fornecidas:
  • Carga 1: q_1 = -13\,\mu\mathrm{C} localizada em x_1 = -2\\ \text{cm}.
  • Carga 2: q_2 = 7\,\mu\mathrm{C} localizada em x_2 = 9\\ \text{cm}.
Pergunta a responder:
  • Determinar os valores de x no eixo x tais que o potencial elétrico total V(x) seja zero (exceto x\to\infty).

Passo 2

Recordando a fórmula do potencial de uma carga pontual e a superposição:
  • O potencial devido a uma carga pontual q num ponto a uma distância r é \displaystyle V = k\,\frac{q}{r}, onde k é a constante eletrostática e r>0 é a distância (sempre positiva).
  • Como potencial é escalar, o potencial total de duas cargas é a soma: \displaystyle V(x)=k\!\left(\frac{q_1}{|x-x_1|}+\frac{q_2}{|x-x_2|}\right).
Queremos os x tais que V(x)=0. Como k\neq0, podemos dividir por k e trabalhar com
\frac{q_1}{|x-x_1|}+\frac{q_2}{|x-x_2|}=0.
Vou trabalhar com as posições em centímetros; as unidades de carga ( \mu\mathrm{C}) e k se cancelam na equação final.

Passo 3

Substituindo os dados ( q_1=-13\,\mu\mathrm{C}, x_1=-2\\ \text{cm}; q_2=7\,\mu\mathrm{C}, x_2=9\\ \text{cm}) obtemos
\frac{-13}{|x-(-2)|}+\frac{7}{|x-9|}=0
ou, simplificando os sinais,
\frac{-13}{|x+2|}+\frac{7}{|x-9|}=0.
Passando um termo para o outro,
\frac{7}{|x-9|}=\frac{13}{|x+2|}.
Isolando a razão das distâncias:
\frac{|x-9|}{|x+2|}=\frac{7}{13}.

Passo 4

Como há valores absolutos, é necessário analisar as três regiões naturais no eixo x definidas pelas posições das cargas:
  • Região A: x<-2 (à esquerda de ambas as cargas).
  • Região B: -2<x<9 (entre as cargas).
  • Região C: x>9 (à direita de ambas as cargas).
Vou resolver em cada região, removendo os valores absolutos de acordo com o sinal de cada expressão.

Passo 5

Região A: x<-2.
Aqui x+2<0 e x-9<0, então |x+2|=-(x+2)=-x-2 e |x-9|=-(x-9)=9-x.
A equação |x-9|=(7/13)|x+2| fica
9-x=\frac{7}{13}(-x-2).
Multiplicando ambos os lados por 13:
117-13x = -7x -14.
Isolando x:
117+14 = -7x +13x \quad\Rightarrow\quad 131 = 6x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{131}{6}\\ \text{cm}.
Como \dfrac{131}{6}\approx21{,}833\\ \text{cm} não satisfaz x<-2, essa solução é inválida para a região A e portanto é descartada aqui (pode aparecer válidamente em outra região).

Passo 6

Região B: -2<x<9.
Aqui x+2>0 e x-9<0, então |x+2|=x+2 e |x-9|=9-x.
A equação fica
9-x=\frac{7}{13}(x+2).
Multiplicando por 13:
117-13x = 7x +14.
Isolando x:
117-14 = 7x +13x \quad\Rightarrow\quad 103 = 20x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{103}{20}\\ \text{cm}.
Calculando decimal, \dfrac{103}{20}=5{,}15\\ \text{cm}, que está no intervalo (-2,9). Portanto x=\dfrac{103}{20}\\ \text{cm} é uma solução válida.

Passo 7

Região C: x>9.
Aqui x+2>0 e x-9>0, então |x+2|=x+2 e |x-9|=x-9.
A equação fica
x-9=\frac{7}{13}(x+2).
Multiplicando por 13:
13x-117 = 7x +14.
Isolando x:
13x-7x = 14 +117 \quad\Rightarrow\quad 6x = 131 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{131}{6}\\ \text{cm}.
Temos \dfrac{131}{6}\approx21{,}833\\ \text{cm}, que satisfaz x>9. Portanto x=\dfrac{131}{6}\\ \text{cm} é uma solução válida.

Passo 8

Verificações rápidas (numéricas) para ficar tranquilo:
  • Para x=\dfrac{103}{20}=5{,}15\\ \text{cm}: distâncias |x+2|=7{,}15\\ \text{cm} e |x-9|=3{,}85\\ \text{cm}.
    Potenciais (proporcionais a q/r): -13/7{,}15\approx-1{,}818 e 7/3{,}85\approx1{,}818; soma zero.
  • Para x=\dfrac{131}{6}\approx21{,}833\\ \text{cm}: distâncias |x+2|\approx23{,}833\\ \text{cm} e |x-9|\approx12{,}833\\ \text{cm}.
    Potenciais: -13/23{,}833\approx-0{,}5456 e 7/12{,}833\approx0{,}5456; soma zero.
Observação: pontos exatamente nas posições das cargas não são soluções (potencial singular infinito). O enunciado já excluiu x\to\infty.

Resposta

x=\dfrac{103}{20}\\ \text{cm}=5{,}15\\ \text{cm}
x=\dfrac{131}{6}\\ \text{cm}\approx21{,}833\\ \text{cm}

Exercícios relacionados