Um rebatedor acerta uma bola de beisebol de modo que ela deixa o bastão com velocidade inicial v_{0}=37,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um ângulo \alpha_{0}=53,1^{\circ}. Com base nessas informações, assinale a alternativa correta:
a) A altura h no ponto mais alto da bola é \mathrm{h}=39,7 \mathrm{~m}.
b) O alcance horizontal da bola é igual a 94 m .
c) Em \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s}, a magnitude do vetor velocidade é igual a 14,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
d) Em t =2,0 \mathrm{~s}, o vetor posição é \mathrm{r}=(44,4 \mathrm{~m}) \boldsymbol{i}+(39,6 \mathrm{~m}) \boldsymbol{j}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Velocidade inicial v_{0}=37,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento \alpha_{0}=53,1^\circ.
  • Aceleração da gravidade que vou usar: g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
O que o enunciado pede, na prática, é verificar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) está correta. Para isso precisamos calcular:
  • a altura máxima h da trajetória;
  • o alcance horizontal R;
  • a magnitude da velocidade em t=2{,}0\\ \mathrm{s};
  • o vetor posição em t=2{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: decompor a velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical. A razão é que o movimento horizontal e o vertical são tratados separadamente no lançamento oblíquo.
As fórmulas de decomposição são:
v_{0x}=v_{0}\cos\alpha_{0},\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\alpha_{0}.
Para \alpha_{0}=53{,}1^\circ temos os valores trigonométricos conhecidos \cos 53{,}1^\circ=0{,}6 e \sin 53{,}1^\circ=0{,}8. Então:
v_{0x}=37{,}0\cdot 0{,}6 = 22{,}2\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=37{,}0\cdot 0{,}8 = 29{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Altura máxima: a componente vertical da velocidade zera no ponto mais alto. A relação cinemática que liga velocidades e deslocamento vertical é
v_{y}^2 = v_{0y}^2 - 2g\,y.
No topo v_y=0, portanto a altura máxima h relativa ao ponto de lançamento satisfaz
0 = v_{0y}^2 - 2g\,h \quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}.
Substituindo v_{0y}=29{,}6\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
v_{0y}^2 = 29{,}6^2 = 876{,}16,
2g = 19{,}6,
h=\dfrac{876{,}16}{19{,}6}=44{,}7\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Tempo de voo total e alcance horizontal: o tempo total de voo de um lançamento que retorna ao mesmo nível é
T=\dfrac{2v_{0y}}{g}.
Substituindo:
T=\dfrac{2\cdot 29{,}6}{9{,}8}=\dfrac{59{,}2}{9{,}8}=6{,}04\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox.}).
A componente horizontal da velocidade é constante v_{x}(t)=v_{0x}. Portanto o alcance horizontal R é
R=v_{0x}\,T = 22{,}2\cdot 6{,}04 = 134{,}1\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).
(Alternativamente a fórmula direta R=\dfrac{v_{0}^2\sin(2\alpha_{0})}{g} dá o mesmo resultado, pois \sin(2\alpha_{0})=2\sin\alpha_{0}\cos\alpha_{0}=2\cdot0{,}8\cdot0{,}6=0{,}96.)

Passo 5

Velocidade em t=2{,}0\\ \mathrm{s}: a componente horizontal permanece v_{x}=v_{0x}=22{,}2\\ \mathrm{m/s}. A componente vertical varia com o tempo segundo
v_{y}(t)=v_{0y}-g t.
Para t=2{,}0\\ \mathrm{s}:
v_{y}(2{,}0)=29{,}6 - 9{,}8\cdot 2{,}0 = 29{,}6 - 19{,}6 = 10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
A magnitude do vetor velocidade é
|\mathbf{v}(2{,}0)|=\sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2}=\sqrt{22{,}2^2 + 10{,}0^2} = \sqrt{492{,}84 + 100} = \sqrt{592{,}84}=24{,}4\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Vetor posição em t=2{,}0\\ \mathrm{s}: as componentes do deslocamento são
x(t)=v_{0x}\,t,\qquad y(t)=v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g t^2.
Calculando:
x(2{,}0)=22{,}2\cdot 2{,}0 = 44{,}4\\ \mathrm{m},
y(2{,}0)=29{,}6\cdot 2{,}0 - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot (2{,}0)^2 = 59{,}2 - 19{,}6 = 39{,}6\\ \mathrm{m}.
Portanto o vetor posição é
\mathbf{r}(2{,}0) = 44{,}4\\ \mathrm{m}\,\boldsymbol{i} + 39{,}6\\ \mathrm{m}\,\boldsymbol{j}.

Passo 7

Resumo numérico dos resultados relevantes (apenas para comparar com as alternativas):
  • Altura máxima h\approx 44{,}7\\ \mathrm{m}.
  • Alcance R\approx 134{,}1\\ \mathrm{m}.
  • Magnitude da velocidade em t=2{,}0\\ \mathrm{s}: |\mathbf{v}|\approx 24{,}4\\ \mathrm{m/s}.
  • Vetor posição em t=2{,}0\\ \mathrm{s}: \mathbf{r}=(44{,}4\\ \mathrm{m})\boldsymbol{i}+(39{,}6\\ \mathrm{m})\boldsymbol{j}.

Resposta

d) \mathbf{r}=(44{,}4\\ \mathrm{m})\boldsymbol{i}+(39{,}6\\ \mathrm{m})\boldsymbol{j}

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