(MACK - SP) Dois satélites de um planeta têm períodos de revolução de 32 dias e 256 dias, respectivamente. Se o raio da úrbita do primeiro satélite vale uma unidade, calcule o raio da órbita do segundo satélite?

Passo 1

O enunciado dá dois satélites orbitando o mesmo planeta, com períodos de revolução T_1 = 32 dias e T_2 = 256 dias, e diz que o raio da órbita do primeiro satélite é r_1 = 1 unidade. Pede o raio r_2 da órbita do segundo satélite. O conteúdo usado será a terceira lei de Kepler.

Passo 2

De acordo com a terceira lei de Kepler, para satélites orbitando o mesmo planeta vale
\frac{T^2}{r^3} = \text{constante}.

Passo 3

Como a constante é a mesma para os dois satélites, podemos escrever
\frac{T_1^2}{r_1^3} \;=\;\frac{T_2^2}{r_2^3}.
Rearranjando, obtemos
r_2^3 \;=\; r_1^3 \,\frac{T_2^2}{T_1^2}.

Passo 4

Substituindo r_1 = 1 e \tfrac{T_2}{T_1} = \tfrac{256}{32} = 8, fica
r_2^3 = 1^3 \cdot 8^2 = 64
e portanto
r_2 = \sqrt[3]{64} = 4.

Resposta

O raio da órbita do segundo satélite é 4 unidades.

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