(UFJF) Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”. Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram presentes na reunião?
Passo 1
O enunciado diz que havia um certo número de ministros presentes (vamos chamar esse número de
) e que, ao saírem, todos se cumprimentaram mutuamente, totalizando
apertos de mão. A pergunta é: qual foi o valor de
?\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Cada par de ministros trocou exatamente um aperto de mão (ou seja, apertos são entre pares distintos).
- O total de apertos de mão foi
. - Precisamos encontrar o número inteiro positivo
de ministros presentes.
Passo 2
Entendendo por que o número de apertos de mão é dado por
ou
.\n
Explicação didática e concreta:
Explicação didática e concreta:
- Cada ministro aperta a mão de todos os outros, então para um ministro há
possíveis apertos. - Se eu somar isso para todos os
ministros eu obteria , porém cada aperto de mão foi contado duas vezes nessa soma: quando conto o aperto entre A e B conto uma vez em A e outra em B. - Para corrigir o duplo-contagem, dividimos por
. Portanto o total de apertos é
Outra forma curta: esse é o número de maneiras de escolher um par de pessoas dentre
, que é
.\n
Pequenos exemplos para fixar:
Pequenos exemplos para fixar:
- Se
, então apertos (faça a conta mental: A-B, A-C, B-C). - Se
, então apertos (confere listando pares).
Passo 3
Usando a informação do enunciado (total de
apertos), montamos a equação
Passo 4
Resolver a equação passo a passo:\n
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Multiplicamos ambos os lados por
Expandindo:
Passo 5
Resolver a equação quadrática. Tentamos fatorar:
Portanto as raízes são
e
. Como
representa número de pessoas, descartamos a raiz negativa
. Resta
Passo 6
Verificação rápida: com
temos
que é exatamente o total informado. Então está correto.\n
Força aí — na prova, se aparecer “quantos aperto de mão” ou “quantas ligações entre pares”, você já sabe usar !
Força aí — na prova, se aparecer “quantos aperto de mão” ou “quantas ligações entre pares”, você já sabe usar