(UFJF) Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”. Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram presentes na reunião?

Passo 1

O enunciado diz que havia um certo número de ministros presentes (vamos chamar esse número de n) e que, ao saírem, todos se cumprimentaram mutuamente, totalizando 15 apertos de mão. A pergunta é: qual foi o valor de n?\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Cada par de ministros trocou exatamente um aperto de mão (ou seja, apertos são entre pares distintos).
  • O total de apertos de mão foi 15.
  • Precisamos encontrar o número inteiro positivo n de ministros presentes.

Passo 2

Entendendo por que o número de apertos de mão é dado por \binom{n}{2} ou \dfrac{n(n-1)}{2}.\n
Explicação didática e concreta:
  • Cada ministro aperta a mão de todos os outros, então para um ministro há n-1 possíveis apertos.
  • Se eu somar isso para todos os n ministros eu obteria n(n-1), porém cada aperto de mão foi contado duas vezes nessa soma: quando conto o aperto entre A e B conto uma vez em A e outra em B.
  • Para corrigir o duplo-contagem, dividimos por 2. Portanto o total de apertos é
\frac{n(n-1)}{2}.
Outra forma curta: esse é o número de maneiras de escolher um par de pessoas dentre n, que é \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}.\n
Pequenos exemplos para fixar:
  • Se n=3, então \dfrac{3\cdot2}{2}=3 apertos (faça a conta mental: A-B, A-C, B-C).
  • Se n=4, então \dfrac{4\cdot3}{2}=6 apertos (confere listando pares).

Passo 3

Usando a informação do enunciado (total de 15 apertos), montamos a equação
\frac{n(n-1)}{2}=15.

Passo 4

Resolver a equação passo a passo:\n
Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
n(n-1)=30.
Expandindo:
n^2-n-30=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática. Tentamos fatorar:
n^2-n-30=(n-6)(n+5).
Portanto as raízes são n=6 e n=-5. Como n representa número de pessoas, descartamos a raiz negativa n=-5. Resta
n=6.

Passo 6

Verificação rápida: com n=6 temos
\frac{6\cdot5}{2}=15,
que é exatamente o total informado. Então está correto.\n
Força aí — na prova, se aparecer “quantos aperto de mão” ou “quantas ligações entre pares”, você já sabe usar \dfrac{n(n-1)}{2}!

Resposta

6

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