(UF-MG) Se A=\{x \in \mathbb{R} \mid x>5 / 8\}, B=\{x \in \mathbb{R} \mid x<2 / 3\} e C=\{x \in \mathbb{R} \mid 5 / 8 \leq x \leq 3 / 4\}, então (A \cup C) \cap B é:
(a) \{x \in \mathbb{R} \mid x<2 / 3\}
(b) \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 3 / 4\}
(c) \{x \in \mathbb{R} \mid 5 / 8 \leq x<2 / 3\}
(d) \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 5 / 8\}
(e) \{x \in \mathbb{R} \mid 5 / 8 \leq x \leq 3 / 4\}

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos e pede que se determine (A\cup C)\cap B. As informações fornecidas são (peguei tudo do enunciado):
  • A=\{x\in\mathbb{R}\mid x>5/8\}.
  • B=\{x\in\mathbb{R}\mid x<2/3\}.
  • C=\{x\in\mathbb{R}\mid 5/8\leq x\leq 3/4\}.
O que se pede exatamente: calcular o conjunto (A\cup C)\cap B e escolher a alternativa correta entre (a)–(e).

Passo 2

Relembrando com calma (sem pular passos) as definições que vamos usar:
  • União: x\in A\cup C se, e somente se, x\in A ou x\in C (ou ambos). Em palavras: união junta todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos.
  • Interseção: x\in (A\cup C)\cap B se, e somente se, x\in B e x\in A\cup C. Em palavras: interseção mantém só os elementos que pertencem a ambos os conjuntos ao mesmo tempo.
    Essas definições serão aplicadas diretamente à forma intervalar dos conjuntos (mais fácil de visualizar).

Passo 3

Converter os conjuntos em intervalos ajuda a visualizar:
  • A=\{x\in\mathbb{R}\mid x>5/8\} corresponde ao intervalo aberto (5/8,\infty).
  • C=\{x\in\mathbb{R}\mid 5/8\leq x\leq 3/4\} corresponde ao intervalo fechado [5/8,3/4].
Agora calculamos A\cup C. Como A=(5/8,\infty) contém todos os números maiores que 5/8 e C=[5/8,3/4] contém 5/8 e alguns números até 3/4, a união pega o 5/8 (porque C inclui) e tudo acima de 5/8 (porque A inclui). Portanto
A\cup C=[5/8,\infty).
Explicação intuitiva com exemplos numéricos: x=5/8 não pertence a A mas pertence a C, logo pertence à união; x=1 pertence a A, logo à união; x=0{,}7 (que é 0{,}70\approx7/10) pertence a A e está acima de 3/4? não, 3/4=0{,}75; mas se estiver acima de 5/8 já entra por A.

Passo 4

Agora intersectamos com B. Escrevendo B como intervalo: B=\{x\in\mathbb{R}\mid x<2/3\}=(-\infty,2/3).
Temos então
(A\cup C)\cap B = [5/8,\infty)\cap(-\infty,2/3).
Para um número pertencer a essa interseção ele precisa satisfazer simultaneamente 5/8\leq x e x<2/3. Logo o conjunto solução é o intervalo que começa em 5/8 (inclusive) e vai até 2/3 (exclusive), isto é
\{x\in\mathbb{R}\mid 5/8\leq x<2/3\}.
Observação sobre extremos: 5/8 está incluído porque C o inclui e isso passa para a união; 2/3 está excluído porque B exige x<2/3 (estrito).

Passo 5

Verificação rápida por casos para sentir segurança:
  • Se x<5/8, então x\notin A e x\notin C, logo x\notin A\cup C e portanto não está na interseção.
  • Se 5/8\le x<2/3, então x\in C (ou em A se for >\!5/8) e x\in B, logo está na interseção.
  • Se x\ge 2/3, então x\notin B, portanto não pode estar na interseção.
    Isso confirma que o único tipo de x na interseção é aquele com 5/8\le x<2/3.

Resposta

(c) \{x\in\mathbb{R}\mid 5/8\leq x<2/3\}

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