Enem PPL: O Conselho Monetário Nacional (CMN) determinou novas regras sobre o pagamento mínimo da fatura do cartão de crédito, a partir do mês de agosto de 2011. A partir de então, o pagamento mensal não poderá ser inferior a 15 \% do valor total da fatura. Em dezembro daquele ano, outra alteração foi efetuada: daí em diante, o valor mínimo a ser pago seria de 20% da fatura.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 29 fev. 2012.
Um determinado consumidor possuía no dia do vencimento, 01/03/2012, uma dívida de \mathrm{R} \ 1.000,00$ na fatura de seu cartão de crédito. Se não houver pagamento do valor total da fatura, são cobrados juros de 10% sobre o saldo devedor para a próxima fatura. Para quitar sua dívida, optou por pagar sempre o mínimo da fatura a cada mês e não efetuar mais nenhuma compra. A dívida desse consumidor em 01/05/2012 será de

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dívida no dia do vencimento 01/03/2012: \mathrm{R}\$\,1.000{,}00.
  • Regra mínima de pagamento (válida desde dezembro/2011): pagamento mínimo de 20\% da fatura em cada mês.
  • Juros aplicados quando não se paga o total: 10\% sobre o saldo devedor para a próxima fatura.
  • Comportamento do consumidor: paga sempre o mínimo a cada mês e não faz novas compras.
  • Pergunta: qual a dívida desse consumidor em 01/05/2012 (ou seja, o saldo que aparece nessa data)?

Passo 2

Entender matematicamente o que acontece num mês (explicação didática).
  • Converter porcentagens em decimais: 20\% = 0,2 e 10\% = 0,1.
  • Num mês em que o saldo inicial é B:
    • o pagamento mínimo é 0,2B,
    • sobra B - 0,2B = 0,8B sem pagar,
    • sobre essa sobra é cobrado 10\% de juros, ou seja multiplica-se por 1+0,1 = 1,1.
  • Portanto o saldo que aparece na fatura do mês seguinte é
B_{\text{seguinte}} = 1{,}1 \times 0{,}8 \times B = 0{,}88\,B.
Isto significa que a cada mês, aplicando pagamento mínimo de 20\% e juros de 10\% sobre o saldo, o saldo do mês seguinte fica com um fator multiplicativo 0{,}88 do saldo do mês anterior. Essa fórmula é muito útil para calcular vários meses em sequência.

Passo 3

Aplicar ao primeiro mês (de 01/03/2012 para 01/04/2012) passo a passo.
  • Saldo inicial em 01/03/2012: B_0 = \mathrm{R}\$\,1.000{,}00.
  • Pagamento mínimo em 01/03/2012:
P_1 = 0{,}2 \cdot B_0 = 0{,}2 \cdot 1000 = \mathrm{R}\$\,200{,}00.
  • Sobra após o pagamento:
B_0 - P_1 = 1000 - 200 = \mathrm{R}\$\,800{,}00.
  • Juros de 10\% sobre a sobra para a próxima fatura:
B_1 = 1{,}1 \cdot 800 = \mathrm{R}\$\,880{,}00.
Esse valor B_1=\mathrm{R}\$\,880{,}00 é a dívida que aparece em 01/04/2012 antes do pagamento mínimo daquele mês.

Passo 4

Aplicar ao segundo mês (de 01/04/2012 para 01/05/2012) passo a passo.
  • Saldo em 01/04/2012: B_1 = \mathrm{R}\$\,880{,}00.
  • Pagamento mínimo em 01/04/2012:
P_2 = 0{,}2 \cdot B_1 = 0{,}2 \cdot 880 = \mathrm{R}\$\,176{,}00.
  • Sobra após o pagamento:
B_1 - P_2 = 880 - 176 = \mathrm{R}\$\,704{,}00.
  • Juros de 10\% sobre a sobra para a próxima fatura:
B_2 = 1{,}1 \cdot 704 = \mathrm{R}\$\,774{,}40.
Esse valor B_2=\mathrm{R}\$\,774{,}40 é a dívida que aparecerá em 01/05/2012.

Passo 5

Verificação rápida usando a fórmula multiplicativa em cadeia.
  • Como cada mês multiplica por 0{,}88, após dois meses:
B_2 = 0{,}88^2 \cdot B_0 = 0{,}88^2 \cdot 1000 = 774{,}4 = \mathrm{R}\$\,774{,}40,
confirmando o cálculo passo a passo anterior.

Resposta

\mathrm{R}\$\,774{,}40

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