(Mackenzie-SP) Uma bola de futebol, ao ser chutada por um garoto, sai do solo com velocidade de 30,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, formando um ângulo de 60^{\circ} acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar, a velocidade da bola no ponto mais alto da trajetória será de
Dados: aceleração da gravidade no l o c a l=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2, \cos 60^{\circ}=0,5 e sen =60^{\circ}=0,87.
A) 11,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
B) 15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
C) 18,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
D) 26,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
E) 30,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade da bola no ponto mais alto da trajetória. As informações fornecidas são:
  • Velocidade inicial: v_0 = 30{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento: \theta = 60^\circ.
  • Desprezar resistência do ar.
  • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Valores trigonométricos fornecidos: \cos 60^\circ = 0{,}5 e \sin 60^\circ = 0{,}87.
O que se pede explicitamente: encontrar a velocidade da bola no ponto mais alto da trajetória (valor numérico, escolher entre as alternativas).

Passo 2

Entender o que significa decompor a velocidade em componentes (é a ferramenta básica aqui).
  • A velocidade inicial \,v_0 pode ser decomposta em componente horizontal \,v_{0x} e componente vertical \,v_{0y}.
  • As fórmulas de decomposição para um vetor velocidade a um ângulo \theta acima da horizontal são:
v_{0x} = v_0 \cos\theta, \qquad v_{0y} = v_0 \sin\theta.
Aqui \,v_{0x} é a parte da velocidade apontando para a direita (horizontal) e \,v_{0y} é a parte apontando para cima (vertical).

Passo 3

Calcular as componentes usando os valores dados (faça contas passo a passo).
v_{0x} = v_0 \cos 60^\circ = 30{,}0 \times 0{,}5 = 15{,}0\\ \mathrm{m/s}.
v_{0y} = v_0 \sin 60^\circ = 30{,}0 \times 0{,}87 = 26{,}1\\ \mathrm{m/s}.
Observação didática: a componente horizontal vale 15{,}0\\ \mathrm{m/s} e a vertical inicial vale 26{,}1\\ \mathrm{m/s}. Essas contas são simples multiplicações; use a vírgula como separador decimal conforme os dados.

Passo 4

Entender o que acontece ao longo do movimento (princípio físico).
  • Como a resistência do ar foi desprezada, não há força horizontal; logo a aceleração horizontal é zero. Assim, a componente horizontal da velocidade permanece constante durante todo o movimento:
v_x(t) = v_{0x} \quad\text{para todo } t.
  • A componente vertical é influenciada pela gravidade; ela diminui linearmente até ficar nula no ponto mais alto. No ápice:
v_y = 0.

Passo 5

Encontrar a velocidade no ponto mais alto usando as componentes.
  • A velocidade é o vetor \vec{v}=(v_x,v_y). No ponto mais alto temos v_y=0 e v_x=v_{0x}.
  • O módulo (valor) da velocidade no ponto mais alto é
v_\text{top} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_{0x}^2 + 0^2} = v_{0x}.
  • Substituindo o valor que calculamos:
v_\text{top} = v_{0x} = 15{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

B) 15{,}0\\ \mathrm{m/s}

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