Um reservatório é parcialmente preenchido com água.
Inicialmente o ar acima da água é responsável pela pressão atmosférica ( \mathrm{P}_{\text {atm }}=1,01 \times 10^{5} \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2} ) e a pressão manométrica no fundo do reservatório é 25000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}.
Em um certo momento é injetado ar no reservatório de tal forma que a pressão no topo do reservatório é AUMENTADA EM 15000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}.
(B) Calcule a PRESSÃO TOTAL NO FUNDO do reservatório.
*considere
g=9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
P_{\text {água }}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}á.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a pressão total no fundo do reservatório após injetarem ar que aumenta a pressão no topo em 15000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
Dados fornecidos:
  • P_{\text{atm}}=1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
  • Pressão manométrica no fundo (antes da injeção): P_{\text{man}}=25000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}. (Isto é, a pressão adicional no fundo em relação à atmosfera, causada pela coluna de água.)
  • Aumento da pressão no topo: \Delta P_{\text{topo}}=15000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
  • g=9{,}80\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
O que se quer: calcular a pressão total (absoluta) no fundo do reservatório depois do aumento de pressão no topo.

Passo 2

Entendendo os conceitos (aula rápida e prática):
  • Pressão absoluta em um ponto é a pressão total naquele ponto medida em relação ao vácuo. Denotamos genericamente por P.
  • Pressão manométrica (ou gauge) é a diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica: P_{\text{man}}=P_{\text{absoluta}}-P_{\text{atm}}.
  • Para um líquido incompressível em equilíbrio, a pressão varia com a profundidade segundo a fórmula hidrostática:
P_{\text{fundo}}=P_{\text{topo}}+\rho g h,
onde:
  • P_{\text{fundo}} é a pressão absoluta no fundo,
  • P_{\text{topo}} é a pressão absoluta na superfície livre do líquido (no topo),
  • \rho é a densidade do líquido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a altura (profundidade) da coluna de líquido.
  • Observação prática: se a pressão no topo é aumentada em \Delta P, essa mesma diferença se transmite até o fundo (princípio de Pascal), ou seja, a pressão no fundo aumenta exatamente em \Delta P, desde que a altura h não mude.

Passo 3

Relacionando os dados iniciais com a fórmula hidrostática:
A pressão manométrica no fundo dada ( 25000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}) é justamente a contribuição da coluna de água:
P_{\text{man}}=\rho g h.
Podemos, se quisermos, calcular a altura h da coluna de água a partir disso (não é estritamente necessário para achar a pressão final, mas ajuda a entender):
h=\frac{P_{\text{man}}}{\rho g}=\frac{25000}{1000\cdot 9{,}80}.

Passo 4

Cálculo numérico da altura (para verificação didática):
h=\frac{25000}{9800}=2{,}551020408\\ \mathrm{m}\approx2{,}551\\ \mathrm{m}.
Isso mostra que a coluna de água tem cerca de 2{,}55\\ \mathrm{m}. A informação confirma que a pressão manométrica de 25000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} vem da coluna de água.

Passo 5

Agora calculamos a nova pressão absoluta no topo após a injeção de ar:
P_{\text{topo, novo}}=P_{\text{atm}}+\Delta P_{\text{topo}}=1{,}01\times10^{5}+1{,}5\times10^{4}.
Em seguida, aplicamos a fórmula hidrostática para obter a pressão no fundo após o aumento:
P_{\text{fundo, novo}}=P_{\text{topo, novo}}+\rho g h.
Mas como \rho g h=P_{\text{man}}=25000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}, podemos escrever diretamente:
P_{\text{fundo, novo}}=P_{\text{atm}}+\Delta P_{\text{topo}}+P_{\text{man}}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos:
P_{\text{fundo, novo}}=1{,}01\times10^{5}+1{,}5\times10^{4}+2{,}5\times10^{4}.
Faço a soma:
1{,}01\times10^{5}+1{,}5\times10^{4}=1{,}16\times10^{5},
1{,}16\times10^{5}+2{,}5\times10^{4}=1{,}41\times10^{5}.
Portanto,
P_{\text{fundo, novo}}=1{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 7

Interpretação final (breve e motivadora): a pressão no fundo aumentou porque além da pressão gerada pela coluna de água havia um acréscimo na pressão no topo que se transmitiu integralmente ao fundo. Tudo certo — calor no peito, não no cérebro: você entendeu a ideia!

Resposta

\,1{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}

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