Um reservatório é parcialmente preenchido com água.
Inicialmente o ar acima da água é responsável pela pressão atmosférica (
) e a pressão manométrica no fundo do reservatório é
.
Em um certo momento é injetado ar no reservatório de tal forma que a pressão no topo do reservatório é AUMENTADA EM
.
(B) Calcule a PRESSÃO TOTAL NO FUNDO do reservatório.
*considere
.
.
Inicialmente o ar acima da água é responsável pela pressão atmosférica (
Em um certo momento é injetado ar no reservatório de tal forma que a pressão no topo do reservatório é AUMENTADA EM
(B) Calcule a PRESSÃO TOTAL NO FUNDO do reservatório.
*considere
Passo 1
O enunciado pede para calcular a pressão total no fundo do reservatório após injetarem ar que aumenta a pressão no topo em
.
Dados fornecidos:
-
. - Pressão manométrica no fundo (antes da injeção):
. (Isto é, a pressão adicional no fundo em relação à atmosfera, causada pela coluna de água.) - Aumento da pressão no topo:
. -
. - Densidade da água:
.
O que se quer: calcular a pressão total (absoluta) no fundo do reservatório depois do aumento de pressão no topo.
Passo 2
Entendendo os conceitos (aula rápida e prática):
- Pressão absoluta em um ponto é a pressão total naquele ponto medida em relação ao vácuo. Denotamos genericamente por
. - Pressão manométrica (ou gauge) é a diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica:
. - Para um líquido incompressível em equilíbrio, a pressão varia com a profundidade segundo a fórmula hidrostática:
onde:
-
é a pressão absoluta no fundo, -
é a pressão absoluta na superfície livre do líquido (no topo), -
é a densidade do líquido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura (profundidade) da coluna de líquido. - Observação prática: se a pressão no topo é aumentada em
, essa mesma diferença se transmite até o fundo (princípio de Pascal), ou seja, a pressão no fundo aumenta exatamente em , desde que a altura não mude.
Passo 3
Relacionando os dados iniciais com a fórmula hidrostática:
A pressão manométrica no fundo dada ( ) é justamente a contribuição da coluna de água:
A pressão manométrica no fundo dada (
Podemos, se quisermos, calcular a altura
da coluna de água a partir disso (não é estritamente necessário para achar a pressão final, mas ajuda a entender):
Passo 4
Cálculo numérico da altura (para verificação didática):
Isso mostra que a coluna de água tem cerca de
. A informação confirma que a pressão manométrica de
vem da coluna de água.
Passo 5
Agora calculamos a nova pressão absoluta no topo após a injeção de ar:
Em seguida, aplicamos a fórmula hidrostática para obter a pressão no fundo após o aumento:
Mas como
, podemos escrever diretamente:
Passo 6
Substituindo os valores numéricos:
Faço a soma:
Portanto,
Passo 7
Interpretação final (breve e motivadora): a pressão no fundo aumentou porque além da pressão gerada pela coluna de água havia um acréscimo na pressão no topo que se transmitiu integralmente ao fundo. Tudo certo — calor no peito, não no cérebro: você entendeu a ideia!