Exresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{3}}{\left(x_{i}^{3}\right)^{2}+4} \Delta x, \quad[1,3]

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{3}}{\bigl(x_{i}^{3}\bigr)^{2}+4}\,\Delta x
no intervalo [1,3]. Isso é um somatório de Riemann e o conteúdo da matéria é a definição de integral definida via soma de Riemann.

Passo 2

Em uma partição uniforme de [1,3] em n subintervalos, temos
\Delta x = \frac{3 - 1}{n} = \frac{2}{n},
e cada x_i é um ponto de amostragem em [1,3].

Passo 3

Pela definição de soma de Riemann, sempre que temos
\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x
e n \to \infty, isso converge para
\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Aqui a função integranda é
f(x) = \frac{x^{3}}{\bigl(x^{3}\bigr)^{2} + 4} = \frac{x^{3}}{x^{6} + 4}.
Logo, o limite dado equivale a
\int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x^{6} + 4}\,\mathrm{d}x.

Resposta

\int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x^{6} + 4}\,\mathrm{d}x

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