(Mackenzie-SP) Se 7^{x}=81 e 9^{y}=7, então o valor de \log _{8}(x y) é
a) \frac{3}{2}
b) \frac{1}{3}
c) 2
d) 3

Passo 1

O enunciado dá duas igualdades e pede o valor de um logaritmo. Informações fornecidas:
  • 7^{x}=81.
  • 9^{y}=7.
O que se pede:
  • Calcular \log_{8}(x y).

Passo 2

Primeiro vamos escrever x e y em forma de logaritmo, porque isso facilita manipular produtos e razões. A relação entre exponencial e logaritmo é: se a^{b}=c então b=\log_{a}c. Aplicando isso:
  • x=\log_{7}81.
  • y=\log_{9}7.
Explicando a ideia: transformar uma igualdade exponencial em uma igualdade logarítmica é só trocar o papel da base e do resultado. Isso nos permite depois usar propriedades dos logaritmos (como mudança de base e cancelamentos).

Passo 3

Vamos escrever x e y usando mudança de base (por exemplo em função do logaritmo natural \ln), porque assim fica fácil multiplicar x por y:
x=\log_{7}81=\frac{\ln 81}{\ln 7}, \qquad y=\log_{9}7=\frac{\ln 7}{\ln 9}.
Aqui usei a fórmula de mudança de base: para quaisquer a,b,c>0 com a\neq1\neq b,
\log_{a} b=\frac{\ln b}{\ln a}.
Essa fórmula permite escrever logaritmos em qualquer base (aqui escolhemos \ln por conveniência).

Passo 4

Multiplicando x por y aparece um cancelamento conveniente:
x y=\frac{\ln 81}{\ln 7}\cdot\frac{\ln 7}{\ln 9}=\frac{\ln 81}{\ln 9}.
O \ln 7 cancela porque aparece no numerador de um fator e no denominador do outro.
Agora simplificamos \dfrac{\ln 81}{\ln 9} usando que 81=3^{4} e 9=3^{2}. Para potências vale \ln(a^{k})=k\ln a. Assim:
\ln 81=\ln(3^{4})=4\ln 3,\qquad \ln 9=\ln(3^{2})=2\ln 3.
Portanto
x y=\frac{4\ln 3}{2\ln 3}=\frac{4}{2}=2.

Passo 5

Agora calculamos \log_{8}(x y). Como encontramos x y=2, precisamos de \log_{8}2. Usamos novamente mudança de base:
\log_{8}2=\frac{\ln 2}{\ln 8}.
Como 8=2^{3} temos \ln 8=\ln(2^{3})=3\ln 2. Substituindo:
\log_{8}2=\frac{\ln 2}{3\ln 2}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Portanto o valor pedido é \dfrac{1}{3}. Comparando com as alternativas, isso corresponde à letra b).

Resposta

b) \tfrac{1}{3}

Exercícios relacionados