(Mackenzie-SP) Se
e
, então o valor de
é
a)
b)
c) 2
d) 3
a)
b)
c) 2
d) 3
Passo 1
O enunciado dá duas igualdades e pede o valor de um logaritmo. Informações fornecidas:
-
. -
.
O que se pede:
- Calcular
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
e
em forma de logaritmo, porque isso facilita manipular produtos e razões. A relação entre exponencial e logaritmo é: se
então
. Aplicando isso:
-
. -
.
Explicando a ideia: transformar uma igualdade exponencial em uma igualdade logarítmica é só trocar o papel da base e do resultado. Isso nos permite depois usar propriedades dos logaritmos (como mudança de base e cancelamentos).
Passo 3
Vamos escrever
e
usando mudança de base (por exemplo em função do logaritmo natural
), porque assim fica fácil multiplicar
por
:
Aqui usei a fórmula de mudança de base: para quaisquer
com
,
Essa fórmula permite escrever logaritmos em qualquer base (aqui escolhemos
por conveniência).
Passo 4
Multiplicando
por
aparece um cancelamento conveniente:
O
cancela porque aparece no numerador de um fator e no denominador do outro.
Agora simplificamos
usando que
e
. Para potências vale
. Assim:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos
. Como encontramos
, precisamos de
. Usamos novamente mudança de base:
Como
temos
. Substituindo:
Passo 6
Portanto o valor pedido é
. Comparando com as alternativas, isso corresponde à letra b).
Resposta
b)