(Unicap-PE) Nas proposições referentes a esta questão,
é um número real. Responda verdadeiro ou falso para cada proposição.
- Se
, então
.
II. Se
, então
.
III. A função exponencial
é sempre crescente.
IV. Se
, então
.
V. Se
, então
.
II. Se
III. A função exponencial
IV. Se
V. Se
Passo 1
O enunciado pede que se responda “verdadeiro” ou “falso” para cada uma das cinco proposições abaixo, sendo que
é um número real. As proposições são:
I. Se
, então
.
II. Se
, então
.
III. A função exponencial
é sempre crescente.
IV. Se
, então
.
V. Se
, então
.
Informações dadas importantes:
é real; aparecem funções exponenciais com bases maiores que
(por exemplo
e
), com base entre
e
(por exemplo
) e uma proposição genérica envolvendo
e
. O objetivo é decidir verdadeiro/falso para cada proposição, justificando.
Passo 2
Conceitos-chave que vamos usar (explicação didática e simples):
-
Monotonicidade da função exponencial: para uma base positiva
(ou seja ): - Se
, a função é estritamente crescente: valores maiores de geram valores maiores de . - Se
, a função é estritamente decrescente: valores maiores de geram valores menores de .
Intuição curta: seentão multiplicar por “aumenta” o número, logo empilhar potências cresce; se multiplicar por “diminui” o número, então empilhar potências decresce. - Se
-
Igualdade de potências com mesma base: se
e , então implica . Isso permite comparar expoentes quando transformamos uma base como potência de outra (por exemplo ). -
Ao resolver desigualdades envolvendo exponenciais, usar a monotonicidade: se
e então ; se e então (a desigualdade se inverte).
Vou usar essas regras para analisar cada proposição.
Passo 3
Analisando a proposição I.
Observação direta:
é potência de
. Calcule:
A base
satisfaz
, então a função
é crescente. Assim, da desigualdade
pela monotonicidade (base
) segue
Portanto a proposição I é verdadeira.
Passo 4
Analisando a proposição II.
Aqui a base é
, isto é
(número entre
e
). A função
é estritamente decrescente porque
. Logo, quando temos
a monotonicidade decrescente implica que o expoente
deve ser maior ou igual a
; em símbolos:
Portanto a afirmação "então
" está incorreta — a direção correta é
. Um exemplo numérico para ver que a proposição dada é falsa: escolha
. Então
mas
é falso. Logo II é falsa.
Passo 5
Analisando a proposição III.
A base é
, que satisfaz
. Pela regra geral, se
então
é crescente para todo
. Em particular,
é crescente: se
então
Um exemplo simples:
e
, e
e
. Portanto III é verdadeira.
Passo 6
Analisando a proposição IV.
A afirmação é genérica: "Se
, então
" sem especificar sinais de
nem restrições sobre
. Em geral isso é falso: depende do sinal de
e dos sinais/valores de
.
Contraexemplo simples e direto (método típico em prova de questões verdadeiro/falso): escolha
,
e
. Então
porém
e
é falso. Portanto a proposição IV é falsa em geral.
Observação adicional (útil para prova): se houvesse a hipótese extra de que
e
, aí sim
seria verdade, porque a função
é crescente para
quando
. Mas sem hipóteses a afirmação dada é falsa.
Passo 7
Analisando a proposição V.
Resolver a equação
Primeiro reescreve
como potência de
:
. Assim
Agora igualamos expoentes (ambos são potências de
com base
e diferente de
):
Isolando
:
Isso coincide exatamente com o número dado na proposição. Portanto V é verdadeira.
Resposta
I. Verdadeiro
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Falso
V. Verdadeiro
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Falso
V. Verdadeiro