(Unicap-PE) Nas proposições referentes a esta questão, x é um número real. Responda verdadeiro ou falso para cada proposição.
  1. Se 3^{x} \leqslant 243, então x \leqslant 5.
    II. Se 0,3^{x} \leqslant 0,3^{2}, então x \leqslant 2.
    III. A função exponencial 2^{x} é sempre crescente.
    IV. Se a \leqslant b, então a^{x} \leqslant b^{x}.
    V. Se 2^{3 x-1}=32^{2 x}, então x=-\frac{1}{7}.

Passo 1

O enunciado pede que se responda “verdadeiro” ou “falso” para cada uma das cinco proposições abaixo, sendo que x é um número real. As proposições são:
I. Se \,3^{x}\leqslant 243\,, então \,x\leqslant 5\,.
II. Se \,0,3^{x}\leqslant 0,3^{2}\,, então \,x\leqslant 2\,.
III. A função exponencial \,2^{x}\, é sempre crescente.
IV. Se \,a\leqslant b\,, então \,a^{x}\leqslant b^{x}\,.
V. Se \,2^{3x-1}=32^{2x}\,, então \,x=-\dfrac{1}{7}\,.
Informações dadas importantes: x é real; aparecem funções exponenciais com bases maiores que 1 (por exemplo 3 e 2), com base entre 0 e 1 (por exemplo 0,3) e uma proposição genérica envolvendo a e b. O objetivo é decidir verdadeiro/falso para cada proposição, justificando.

Passo 2

Conceitos-chave que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Monotonicidade da função exponencial: para uma base positiva a (ou seja a>0):
    • Se a>1, a função f(x)=a^{x} é estritamente crescente: valores maiores de x geram valores maiores de a^{x}.
    • Se 0<a<1, a função f(x)=a^{x} é estritamente decrescente: valores maiores de x geram valores menores de a^{x}.
    Intuição curta: se a>1 então multiplicar por a “aumenta” o número, logo empilhar potências cresce; se 0<a<1 multiplicar por a “diminui” o número, então empilhar potências decresce.
  • Igualdade de potências com mesma base: se a>0 e a\neq 1, então a^{u}=a^{v} implica u=v. Isso permite comparar expoentes quando transformamos uma base como potência de outra (por exemplo 32=(2)^{5}).
  • Ao resolver desigualdades envolvendo exponenciais, usar a monotonicidade: se a>1 e a^{x}\le a^{y} então x\le y; se 0<a<1 e a^{x}\le a^{y} então x\ge y (a desigualdade se inverte).
Vou usar essas regras para analisar cada proposição.

Passo 3

Analisando a proposição I.
Observação direta: 243 é potência de 3. Calcule:
243=3^{5}.
A base 3 satisfaz 3>1, então a função x\mapsto 3^{x} é crescente. Assim, da desigualdade
3^{x}\le 243=3^{5}
pela monotonicidade (base >1) segue
x\le 5.
Portanto a proposição I é verdadeira.

Passo 4

Analisando a proposição II.
Aqui a base é \,0,3, isto é 0{,}3 (número entre 0 e 1). A função x\mapsto 0,3^{x} é estritamente decrescente porque 0<0{,}3<1. Logo, quando temos
0,3^{x}\le 0,3^{2},
a monotonicidade decrescente implica que o expoente x deve ser maior ou igual a 2; em símbolos:
0,3^{x}\le 0,3^{2}\quad\Longrightarrow\quad x\ge 2.
Portanto a afirmação "então x\le 2" está incorreta — a direção correta é x\ge 2. Um exemplo numérico para ver que a proposição dada é falsa: escolha x=3. Então
0,3^{3}=0,027\le 0,3^{2}=0,09,
mas 3\le 2 é falso. Logo II é falsa.

Passo 5

Analisando a proposição III.
A base é 2, que satisfaz 2>1. Pela regra geral, se a>1 então a^{x} é crescente para todo x\in\mathbb{R}. Em particular, 2^{x} é crescente: se x_{1}<x_{2} então
2^{x_{1}}<2^{x_{2}}.
Um exemplo simples: 2^{0}=1 e 2^{1}=2, e 0<1 e 1<2. Portanto III é verdadeira.

Passo 6

Analisando a proposição IV.
A afirmação é genérica: "Se \,a\le b\,, então \,a^{x}\le b^{x}\," sem especificar sinais de a,b nem restrições sobre x. Em geral isso é falso: depende do sinal de x e dos sinais/valores de a,b.
Contraexemplo simples e direto (método típico em prova de questões verdadeiro/falso): escolha a=1, b=2 e x=-1. Então
a\le b\quad\text{pois}\quad 1\le 2,
porém
a^{x}=1^{-1}=1,\qquad b^{x}=2^{-1}=\tfrac{1}{2},
e
1\le\tfrac{1}{2}
é falso. Portanto a proposição IV é falsa em geral.
Observação adicional (útil para prova): se houvesse a hipótese extra de que 0\le a\le b e x\ge 0, aí sim a^{x}\le b^{x} seria verdade, porque a função t\mapsto t^{x} é crescente para t\ge 0 quando x\ge 0. Mas sem hipóteses a afirmação dada é falsa.

Passo 7

Analisando a proposição V.
Resolver a equação
2^{3x-1}=32^{2x}.
Primeiro reescreve 32 como potência de 2: 32=2^{5}. Assim
32^{2x}=(2^{5})^{2x}=2^{10x}.
Agora igualamos expoentes (ambos são potências de 2 com base >0 e diferente de 1):
3x-1=10x.
Isolando x:
3x-10x=1\quad\Longrightarrow\quad -7x=1\quad\Longrightarrow\quad x=-\dfrac{1}{7}.
Isso coincide exatamente com o número dado na proposição. Portanto V é verdadeira.

Resposta

I. Verdadeiro
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Falso
V. Verdadeiro

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