(Magalhães e Lima) Um relatório de uma companhia afirma que 40 \% de toda a água obtida, através de poços artesianos no Nordeste, é salubre. Há muitas controvérsias sobre essa informação, alguns dizem que a proporçãoé maior, outros que é menor. Para dirimir as dívidas, 400 poços foram sorteados e observou-se, em 120 deles, água salobra. Qual seri a conclusão, ao nível de 3 \% ?

Passo 1

O enunciado afirma que a proporção verdadeira de poços com água salubre é p_0=0,40. Sorteou-se uma amostra de n=400 poços e encontrou-se \hat p=120/400=0,30. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,03, se a proporção real difere de 0,40. O conteúdo é teste de hipótese para proporção, usando aproximação normal pelo Teorema Central do Limite.

Passo 2

Formulamos as hipóteses nula e alternativa para teste bilateral:
H_0: p = 0,40
H_1: p \neq 0,40
Sob H_0, a estatística de teste é
Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}
que se aproxima de uma normal padrão.

Passo 3

Calculamos o valor de Z. Primeiro, p_0(1-p_0)=0,40\cdot0,60=0,24 e
\sqrt{\frac{0,24}{400}} =\sqrt{0,0006} \approx0,024495.
Logo,
Z =\frac{0,30-0,40}{0,024495} \approx\frac{-0,10}{0,024495} \approx -4{,}082.

Passo 4

Como é teste bilateral com \alpha=0,03, cada cauda tem área 0,015. O valor crítico da normal padrão é
z_{0{,}015}\approx 2{,}170.
A região de rejeição de H_0 é
\{Z < -2{,}170\}\cup\{Z > 2{,}170\}.

Passo 5

Obtivemos Z\approx -4{,}082, que cai na região Z< -2{,}170. Portanto rejeitamos H_0 ao nível 3\%. Há evidência estatística de que a proporção real difere de 0,40; como \hat p ficou abaixo de 0,40, conclui-se que a proporção é menor que 40\%.

Resposta

Rejeita-se H_0. Conclui-se, ao nível de 3\%, que a proporção verdadeira de poços com água salubre é significativamente diferente de 40\%, sendo, no caso observado, inferior a esse valor.

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