Considere uma amostra aleatória \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) onde as variáveis X_{i} são independente e têm distribuição N(12,5 ; 7). Considere o estimador \bar{X} da amostra. Calcule a média, a variância e o desvio padrão de \bar{X} para:
(a) n=10

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória \{X_{1},\dots,X_{n}\} de variáveis independentes identicamente distribuídas como N(12,5;7). Isto é, cada X_{i} tem média \mu=12,5 e variância \sigma^{2}=7. Queremos o estimador \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} e, para n=10, calcular a sua média, variância e desvio padrão. Vamos usar as propriedades
  1. \displaystyle E(\bar{X})=E(X_{i}),
  2. \displaystyle \mathrm{Var}(\bar{X})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i})=\frac{\sigma^{2}}{n},
  3. \displaystyle \mathrm{SD}(\bar{X})=\sqrt{\mathrm{Var}(\bar{X})}.

Passo 2

Usando E(\bar{X})=E(X_{i}), obtemos
E(\bar{X}) = \mu = 12,5.

Passo 3

Para a variância, aplicamos \mathrm{Var}(\bar{X})=\sigma^{2}/n. Como \sigma^{2}=7 e n=10,
\mathrm{Var}(\bar{X}) = \frac{7}{10} = 0,7.

Passo 4

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\mathrm{SD}(\bar{X}) = \sqrt{0,7} \approx 0,8367.

Resposta

Média: E(\bar{X})=12,5
Variância: \mathrm{Var}(\bar{X})=0,7
Desvio padrão: \mathrm{SD}(\bar{X})\approx0,8367

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