Um serviço de fiscalização é criado para averiguar se garrafas de um certo refrigerante contém, de fato, o volume especificado pelo fabricante. Para tanto, 10 garrafas do produto são compradas no varejo, em várias regiões da cidade. Cada uma dessas garrafas é esvaziada e o volume de seu conteúdo, que denotaremos por V, é aferido. Uma vez obtidos os 10 valores, a média aritmética M é calculada e, se M<290 mililitros (ml), a fabricante é multada. Estudos na linha de produção do fabricante mostraram que variações sempre ocorrem, mesmo se as especificações forem seguidas. Por essa razão, considera-se o volume do conteúdo das garrafas como seguindo um modelo Normal, com média \mu=300 \mathrm{ml} e desvio-padrão \sigma=25 \mathrm{ml}. Calcule qual é a probabilidade de que o fabricante seja multado?

Passo 1

O enunciado compra n=10 garrafas cujos volumes V seguem o modelo Normal com média \mu=300 ml e desvio-padrão \sigma=25 ml. Define-se M como a média amostral dos 10 volumes, e o fabricante é multado se M<290 ml. Para calcular a probabilidade de multa, vamos usar a distribuição de M.

Passo 2

Como cada V é Normal, a média amostral M também é Normal com
M \sim N\!\Bigl(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr).

Passo 3

Calculamos o desvio-padrão de M e o escore padronizado z:
\sigma_{M} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{25}{\sqrt{10}} \approx 7,9057
z = \frac{290 - \mu}{\sigma_{M}} = \frac{290 - 300}{7,9057} \approx -1,2649

Passo 4

A probabilidade de M<290 é
\Pr(M<290) = \Pr\bigl(Z< -1,2649\bigr),
e pela tabela da Normal Padrão obtemos
\Pr(Z< -1,2649)\approx 0,103.

Resposta

\approx 0,103

Exercícios relacionados