O magnésio é um metal estrutural extremamente importante devido, entre outros fatores, a sua baixa densidade (a densidade do Mg é 1,74 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} enquanto a do aluminio é 2,70 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ). Um dos métodos de obtençăo do magnésio se inicia pela precipitaçăo do \mathrm{Mg}^{2 *} contido na água do mar. Tal precipitaçăo depende do fato do hidróxido de magnésio ser menos solúvel do que o hidróxido de cálcio. Considerando que a concentraçăo média de \mathrm{Mg}^{2 *} é igual a de \mathrm{Ca}^{2 *} e ambas iguais a 0,05 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, faça.
a) Calcule o pH a partir do qual o cátion magnésio começa a precipitar na forma de hidróxido de magnésio.
b) Calcule a concentraçăo de cátion magnésio na água do mar quando o cátion cálcio começar a precipitar na forma de hidróxido de cálcio.
Dados: \mathrm{Kps}\left(\mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}\right)=1,1 \times 10^{-11} ; \mathrm{Kps}\left(\mathrm{Ca}(\mathrm{OH})_{2}\right)=5,5 \times 10^{-6}

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  1. A partir de que pH o cátion magnésio começa a precipitar como hidróxido de magnésio?
  2. Qual é a concentração de cátion magnésio na água do mar quando o cátion cálcio começar a precipitar como hidróxido de cálcio?
Informações fornecidas (vou listar exatamente como dadas):
\text{Concentrações iniciais: }\;[\mathrm{Mg}^{2+}]_0 = [\mathrm{Ca}^{2+}]_0 = 0{,}05\\ \mathrm{mol/L}çõ
\mathrm{K_{sp}}\big(\mathrm{Mg(OH)}_2\big)=1{,}1\times 10^{-11}
\mathrm{K_{sp}}\big(\mathrm{Ca(OH)}_2\big)=5{,}5\times 10^{-6}
Nada mais será pedido além dessas duas quantidades. A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Conceito básico usado (explicação didática): produto de solubilidade ( \mathrm{K_{sp}}).
Quando um sal pouco solúvel como \mathrm{Mg(OH)}_2 está em equilíbrio com suas espécies em solução, vale:
\mathrm{Mg(OH)}_2(s) \rightleftharpoons \mathrm{Mg}^{2+} + 2\,\mathrm{OH}^-
e a constante de solubilidade é
\mathrm{K_{sp}} = [\mathrm{Mg}^{2+}]\,[\mathrm{OH}^-]^2.
Isto significa: se o produto iônico [\mathrm{Mg}^{2+}]\,[\mathrm{OH}^-]^2 ultrapassar \mathrm{K_{sp}}, o sal precipita; se for igual, o sistema está saturado (começa a precipitar exatamente quando o produto iônico alcança \mathrm{K_{sp}}). Vamos usar essa relação para determinar o pH de início de precipitação do magnésio.

Passo 3

Resolver (a): encontrar o pH a partir do qual \mathrm{Mg}^{2+} começa a precipitar.
Quando a precipitação começa, o produto iônico atinge \mathrm{K_{sp}}. Tomando a concentração de \mathrm{Mg}^{2+} igual à concentração média dada (0{,}05\\ \mathrm{mol/L}), temos:
\mathrm{K_{sp}}\big(\mathrm{Mg(OH)}_2\big) = [\mathrm{Mg}^{2+}]\,[\mathrm{OH}^-]^2.
Isolando [\mathrm{OH}^-]:
[\mathrm{OH}^-] = \sqrt{\dfrac{\mathrm{K_{sp}}\big(\mathrm{Mg(OH)}_2\big)}{[\mathrm{Mg}^{2+}]}}.

Passo 4

Substituindo numericamente os valores (mostro contas passo a passo):
[\mathrm{OH}^-] = \sqrt{\dfrac{1{,}1\times 10^{-11}}{0{,}05}}.
Primeiro calcule o quociente:
\dfrac{1{,}1\times 10^{-11}}{0{,}05} = \dfrac{1{,}1\times 10^{-11}}{5\times 10^{-2}} = \frac{1{,}1}{5}\times 10^{-11+2} = 0{,}22\times 10^{-9} = 2{,}2\times 10^{-10}.
Agora a raiz quadrada:
[\mathrm{OH}^-] = \sqrt{2{,}2\times 10^{-10}} = \sqrt{2{,}2}\times 10^{-5}\approx 1{,}483\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 5

Converter [\mathrm{OH}^-] em pH (explicando os conceitos):
Definições úteis:
\text{pOH} = -\log_{10}\big([\mathrm{OH}^-]\big),\qquad \text{pH} + \text{pOH} = 14{,}00\\ (\text{a }25^\circ\mathrm{C}).
Calcule a pOH:
\text{pOH} = -\log_{10}\big(1{,}483\times 10^{-5}\big).
Usando propriedades de log:
\log_{10}\big(1{,}483\times 10^{-5}\big) = \log_{10}(1{,}483) + \log_{10}(10^{-5}) = 0{,}1710 - 5 = -4{,}8290.
Portanto
\text{pOH} = -(-4{,}8290) = 4{,}8290.
E finalmente
\text{pH} = 14{,}00 - 4{,}8290 = 9{,}1710\approx 9{,}17.

Passo 6

Interpretação rápida do resultado (para fixar a ideia): a partir de \text{pH}\approx 9{,}17 o produto iônico [\mathrm{Mg}^{2+}][\mathrm{OH}^-]^2 atinge \mathrm{K_{sp}} e o \mathrm{Mg(OH)}_2 começa a precipitar. Até esse pH o magnésio permanece majoritariamente dissolvido.

Passo 7

Resolver (b): queremos a concentração de \mathrm{Mg}^{2+} quando o cátion \mathrm{Ca}^{2+} começar a precipitar como \mathrm{Ca(OH)}_2. Estratégia: primeiro determinar [\mathrm{OH}^-] no instante em que \mathrm{Ca(OH)}_2 começa a precipitar (usando a mesma ideia de produto iônico = \mathrm{K_{sp}} e [\mathrm{Ca}^{2+}]=0{,}05\\ \mathrm{mol/L}); depois usar esse [\mathrm{OH}^-] na expressão do \mathrm{K_{sp}} do magnésio para obter o [\mathrm{Mg}^{2+}] residual.

Passo 8

Calcular [\mathrm{OH}^-] quando \mathrm{Ca(OH)}_2 começa a precipitar:
\mathrm{K_{sp}}\big(\mathrm{Ca(OH)}_2\big) = [\mathrm{Ca}^{2+}]\,[\mathrm{OH}^-]^2.
Isolando:
[\mathrm{OH}^-] = \sqrt{\dfrac{\mathrm{K_{sp}}\big(\mathrm{Ca(OH)}_2\big)}{[\mathrm{Ca}^{2+}]}} = \sqrt{\dfrac{5{,}5\times 10^{-6}}{0{,}05}}.
Calcule o quociente:
\dfrac{5{,}5\times 10^{-6}}{0{,}05} = \dfrac{5{,}5\times 10^{-6}}{5\times 10^{-2}} = \frac{5{,}5}{5}\times 10^{-6+2} = 1{,}1\times 10^{-4}.
Raiz quadrada:
[\mathrm{OH}^-] = \sqrt{1{,}1\times 10^{-4}} = \sqrt{1{,}1}\times 10^{-2}\approx 1{,}0488\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 9

Calcular o pH correspondente (apenas para referência e confirmação do contraste com (a)):
\text{pOH} = -\log_{10}\big(1{,}0488\times 10^{-2}\big).
\log_{10}\big(1{,}0488\times 10^{-2}\big)=\log_{10}(1{,}0488)-2\approx 0{,}0209-2=-1{,}9791.
\text{pOH}=1{,}9791\quad\Rightarrow\quad \text{pH}=14{,}00-1{,}9791=12{,}0209\approx 12{,}02.
Observação: esse pH é bem maior que o pH de início de precipitação do magnésio ( \approx 9{,}17), portanto antes de o cálcio começar a precipitar quase todo o magnésio já foi removido por precipitação — por isso agora calculamos a pequena concentração de \mathrm{Mg}^{2+} que permanece em equilíbrio com aquele [\mathrm{OH}^-].

Passo 10

Calcular [\mathrm{Mg}^{2+}] quando [\mathrm{OH}^-]=1{,}0488\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol/L} (usar a expressão do Ksp do magnésio e isolar [\mathrm{Mg}^{2+}]):
\mathrm{K_{sp}}\big(\mathrm{Mg(OH)}_2\big) = [\mathrm{Mg}^{2+}]\,[\mathrm{OH}^-]^2
\Rightarrow\quad [\mathrm{Mg}^{2+}] = \dfrac{\mathrm{K_{sp}}\big(\mathrm{Mg(OH)}_2\big)}{[\mathrm{OH}^-]^2} = \dfrac{1{,}1\times 10^{-11}}{(1{,}0488\times 10^{-2})^2}.
Calcule o quadrado de [\mathrm{OH}^-]:
(1{,}0488\times 10^{-2})^2 = 1{,}0488^2 \times 10^{-4}\approx 1{,}099\times 10^{-4}.
Agora o quociente:
[\mathrm{Mg}^{2+}] \approx \dfrac{1{,}1\times 10^{-11}}{1{,}099\times 10^{-4}} = \dfrac{1{,}1}{1{,}099}\times 10^{-11+4}\approx 1{,}001\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}.
Arredondando de forma significativa,
[\mathrm{Mg}^{2+}]\approx 1{,}0\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 11

Comentário final e encorajamento: o resultado mostra que o magnésio começa a precipitar já perto de \text{pH}\approx 9{,}17. Quando o pH sobe tanto que o cálcio começa a precipitar ( \text{pH}\approx 12{,}02), praticamente todo o magnésio foi removido — restando na solução apenas cerca de 10^{-7}\\ \mathrm{mol/L} de \mathrm{Mg}^{2+}. Se ficar nervoso na prova: escreva primeiro as equações de equilíbrio e a expressão de \mathrm{K_{sp}}, isole a incógnita, substitua os números e calcule os logs com calma — essa receita funciona sempre.

Resposta

pH de início de precipitação do Magnésio: 9{,}17
Concentração de \mathrm{Mg}^{2+} quando o Cálcio começa a precipitar: 1{,}0\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}

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