Em uma soluçăo aquosa 0,25 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de carbonato de sódio ocorre a hidrólise do ion carbonato \left(\mathrm{CO}_{3}{ }^{2-}\right). Calcule, para essa solução, o valor do pH .
Dados: \mathrm{Ka}_{1}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}\right)=4,3 \times 10^{-7} ; \mathrm{Ka}_{2}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}\right)=5,6 \times 10^{-11}

Passo 1

O problema pede o pH de uma solução aquosa de carbonato de sódio com concentração inicial de \;0,25\\ \mathrm{mol/L}.
Dados fornecidos:
K_{a1}\bigl(\mathrm{H_2CO_3}\bigr)=4,3\times 10^{-7}, \qquad K_{a2}\bigl(\mathrm{H_2CO_3}\bigr)=5,6\times 10^{-11}.
A espécie presente em solução é o ânion \mathrm{CO_3^{2-}} (vindo do \mathrm{Na_2CO_3}); a pergunta é: qual o pH dessa solução?

Passo 2

Entendendo o que acontece (pequena aula): o íon \mathrm{CO_3^{2-}} é a base conjugada de \mathrm{HCO_3^-}. Em água ele sofre hidrólise básica principal:
\mathrm{CO_3^{2-}} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{HCO_3^-} + \mathrm{OH^-}.
A constante de equilíbrio para essa reação é K_{b1}. Há também uma segunda hidrólise (quando \mathrm{HCO_3^-} age como base), mas veremos se ela é importante. A relação entre constantes é:
K_{b1}=\frac{K_w}{K_{a2}},
onde K_w é o produto iônico da água; a temperatura usual assumida é 25^\circ\mathrm{C}, então
K_w=1,0\times 10^{-14}.

Passo 3

Cálculo de K_{b1}:
K_{b1}=\frac{K_w}{K_{a2}}=\frac{1,0\times 10^{-14}}{5,6\times 10^{-11}}.
Vamos dividir:
K_{b1}=\frac{1,0}{5,6}\times 10^{-14+11}=\;0,17857\times 10^{-3}=1,7857\times 10^{-4}.
Arredondando razoavelmente,
K_{b1}\approx 1,79\times 10^{-4}.

Passo 4

Montamos a tabela ICE para a primeira hidrólise (concentração inicial de \mathrm{CO_3^{2-}} é \;0,25\\ \mathrm{mol/L}):
\begin{array}{lccc} & \mathrm{CO_3^{2-}} & \rightleftharpoons & \mathrm{HCO_3^-} + \mathrm{OH^-} \\\ \text{inicial} & 0,25 & & 0 \\\ \text{variação} & -x & & +x \\\ \text{equilíbrio} & 0,25-x & & x \end{array}çãí
A expressão da constante é
K_{b1}=\frac{[\mathrm{HCO_3^-}][\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{CO_3^{2-}}]}=\frac{x\cdot x}{0,25-x}=\frac{x^2}{0,25-x}.
Como K_{b1} é pequeno e esperamos x\ll 0,25, fazemos a aproximação \;0,25-x\approx 0,25, então
x\approx\sqrt{K_{b1}\cdot 0,25}.

Passo 5

Cálculo de x=[\mathrm{OH^-}]:
x\approx\sqrt{1,7857\times 10^{-4}\times 0,25} =\sqrt{4,46425\times 10^{-5}} \approx 6,68\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 6

Agora calculamos o \mathrm{pOH} e o \mathrm{pH}. Lembrando:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}[\mathrm{OH^-}], \qquad \mathrm{pH}=14,00-\mathrm{pOH}.
Usando [\mathrm{OH^-}]\approx 6,68\times 10^{-3}:
\mathrm{pOH}=-\log_{10}(6,68\times 10^{-3})=-\bigl(\log_{10}6,68+\log_{10}10^{-3}\bigr) =-(0,824+\;(-3))\approx 2,176.
Logo
\mathrm{pH}=14,00-2,176\approx 11,824\approx 11,83.

Passo 7

Verificação das aproximações e contribuição da segunda hidrólise: a razão x/0,25 é
\frac{6,68\times 10^{-3}}{0,25}\approx 0,0267\;(2,67\%),
menor que 5\%, então a aproximação 0,25-x\approx 0,25 é válida. A segunda hidrólise (de \mathrm{HCO_3^-}) tem
K_{b2}=\frac{K_w}{K_{a1}}=\frac{1,0\times 10^{-14}}{4,3\times 10^{-7}}\approx 2,33\times 10^{-8},
e a contribuição extra de \mathrm{OH^-} seria da ordem de \sqrt{K_{b2}[\mathrm{HCO_3^-}]}\approx\sqrt{2,33\times 10^{-8}\times 6,68\times 10^{-3}}\approx 1,25\times 10^{-5}, ou seja, desprezível frente a 6,68\times 10^{-3}. Portanto o pH calculado está correto dentro do nível de aproximação.

Resposta

11,83

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